Theorem ordsucun 7025

Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucun	|- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> suc ( A u. B ) = ( suc A u. suc B ) )

Proof of Theorem ordsucun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordun 5829	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> Ord ( A u. B ) )
2		ordsuc 7014	. . . . 5 |- ( Ord ( A u. B ) <-> Ord suc ( A u. B ) )
3		ordelon 5747	. . . . . 6 |- ( ( Ord suc ( A u. B ) /\ x e. suc ( A u. B ) ) -> x e. On )
4	3	ex 450	. . . . 5 |- ( Ord suc ( A u. B ) -> ( x e. suc ( A u. B ) -> x e. On ) )
5	2, 4	sylbi 207	. . . 4 |- ( Ord ( A u. B ) -> ( x e. suc ( A u. B ) -> x e. On ) )
6	1, 5	syl 17	. . 3 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. suc ( A u. B ) -> x e. On ) )
7		ordsuc 7014	. . . 4 |- ( Ord A <-> Ord suc A )
8		ordsuc 7014	. . . 4 |- ( Ord B <-> Ord suc B )
9		ordun 5829	. . . . 5 |- ( ( Ord suc A /\ Ord suc B ) -> Ord ( suc A u. suc B ) )
10		ordelon 5747	. . . . . 6 |- ( ( Ord ( suc A u. suc B ) /\ x e. ( suc A u. suc B ) ) -> x e. On )
11	10	ex 450	. . . . 5 |- ( Ord ( suc A u. suc B ) -> ( x e. ( suc A u. suc B ) -> x e. On ) )
12	9, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ( Ord suc A /\ Ord suc B ) -> ( x e. ( suc A u. suc B ) -> x e. On ) )
13	7, 8, 12	syl2anb 496	. . 3 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. ( suc A u. suc B ) -> x e. On ) )
14		ordssun 5827	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( x C_ ( A u. B ) <-> ( x C_ A \/ x C_ B ) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( x C_ ( A u. B ) <-> ( x C_ A \/ x C_ B ) ) )
16		ordsssuc 5812	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ Ord ( A u. B ) ) -> ( x C_ ( A u. B ) <-> x e. suc ( A u. B ) ) )
17	1, 16	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( x C_ ( A u. B ) <-> x e. suc ( A u. B ) ) )
18		ordsssuc 5812	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ Ord A ) -> ( x C_ A <-> x e. suc A ) )
19	18	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( x C_ A <-> x e. suc A ) )
20		ordsssuc 5812	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ Ord B ) -> ( x C_ B <-> x e. suc B ) )
21	20	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( x C_ B <-> x e. suc B ) )
22	19, 21	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( ( x C_ A \/ x C_ B ) <-> ( x e. suc A \/ x e. suc B ) ) )
23	15, 17, 22	3bitr3d 298	. . . . 5 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( x e. suc ( A u. B ) <-> ( x e. suc A \/ x e. suc B ) ) )
24		elun 3753	. . . . 5 |- ( x e. ( suc A u. suc B ) <-> ( x e. suc A \/ x e. suc B ) )
25	23, 24	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( x e. On /\ ( Ord A /\ Ord B ) ) -> ( x e. suc ( A u. B ) <-> x e. ( suc A u. suc B ) ) )
26	25	expcom 451	. . 3 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. On -> ( x e. suc ( A u. B ) <-> x e. ( suc A u. suc B ) ) ) )
27	6, 13, 26	pm5.21ndd 369	. 2 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. suc ( A u. B ) <-> x e. ( suc A u. suc B ) ) )
28	27	eqrdv 2620	1 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> suc ( A u. B ) = ( suc A u. suc B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  rankprb  8714  noetalem4  31866