Theorem noetalem4 31866

Description: Lemma for noeta 31868. Bound the birthday of Z above. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetalem.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
noetalem.2	|- Z = ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
noetalem4	|- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) )

Distinct variable group:   A, g, u, v, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u, g)   S( x, y, v, u, g)   Z( x, y, v, u, g)

Proof of Theorem noetalem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noetalem.1	. . . . . . 7 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2	1	nosupno 31849	. . . . . 6 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
3		bdayval 31801	. . . . . 6 |- ( S e. No -> ( bday ` S ) = dom S )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( bday ` S ) = dom S )
5	1	nosupbday 31851	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( bday ` S ) C_ suc U. ( bday " A ) )
6	4, 5	eqsstr3d 3640	. . . 4 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> dom S C_ suc U. ( bday " A ) )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> dom S C_ suc U. ( bday " A ) )
8		unss1 3782	. . 3 |- ( dom S C_ suc U. ( bday " A ) -> ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) C_ ( suc U. ( bday " A ) u. suc U. ( bday " B ) ) )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) C_ ( suc U. ( bday " A ) u. suc U. ( bday " B ) ) )
10		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> A C_ No )
11		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> A e. _V )
12		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> B e. _V )
13		noetalem.2	. . . . . 6 |- Z = ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
14	1, 13	noetalem1 31863	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ B e. _V ) -> Z e. No )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> Z e. No )
16		bdayval 31801	. . . 4 |- ( Z e. No -> ( bday ` Z ) = dom Z )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( bday ` Z ) = dom Z )
18	13	dmeqi 5325	. . . 4 |- dom Z = dom ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
19		dmun 5331	. . . . 5 |- dom ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) = ( dom S u. dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
20		1on 7567	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
21	20	elexi 3213	. . . . . . . . 9 |- 1o e. _V
22	21	snnz 4309	. . . . . . . 8 |- { 1o } =/= (/)
23		dmxp 5344	. . . . . . . 8 |- ( { 1o } =/= (/) -> dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) = ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) = ( suc U. ( bday " B ) \ dom S )
25	24	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( dom S u. dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) = ( dom S u. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
26		undif2 4044	. . . . . 6 |- ( dom S u. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) ) = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
27	25, 26	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( dom S u. dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
28	19, 27	eqtri 2644	. . . 4 |- dom ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
29	18, 28	eqtri 2644	. . 3 |- dom Z = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
30	17, 29	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( bday ` Z ) = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) )
31		imaundi 5545	. . . . . . 7 |- ( bday " ( A u. B ) ) = ( ( bday " A ) u. ( bday " B ) )
32	31	unieqi 4445	. . . . . 6 |- U. ( bday " ( A u. B ) ) = U. ( ( bday " A ) u. ( bday " B ) )
33		uniun 4456	. . . . . 6 |- U. ( ( bday " A ) u. ( bday " B ) ) = ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) )
34	32, 33	eqtri 2644	. . . . 5 |- U. ( bday " ( A u. B ) ) = ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) )
35		suceq 5790	. . . . 5 |- ( U. ( bday " ( A u. B ) ) = ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) ) -> suc U. ( bday " ( A u. B ) ) = suc ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- suc U. ( bday " ( A u. B ) ) = suc ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) )
37		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( bday " A ) C_ ran bday
38		bdayfo 31828	. . . . . . . 8 |- bday : No -onto-> On
39		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( bday : No -onto-> On -> ran bday = On )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran bday = On
41	37, 40	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- ( bday " A ) C_ On
42		ssorduni 6985	. . . . . 6 |- ( ( bday " A ) C_ On -> Ord U. ( bday " A ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- Ord U. ( bday " A )
44		imassrn 5477	. . . . . . 7 |- ( bday " B ) C_ ran bday
45	44, 40	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- ( bday " B ) C_ On
46		ssorduni 6985	. . . . . 6 |- ( ( bday " B ) C_ On -> Ord U. ( bday " B ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . 5 |- Ord U. ( bday " B )
48		ordsucun 7025	. . . . 5 |- ( ( Ord U. ( bday " A ) /\ Ord U. ( bday " B ) ) -> suc ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) ) = ( suc U. ( bday " A ) u. suc U. ( bday " B ) ) )
49	43, 47, 48	mp2an 708	. . . 4 |- suc ( U. ( bday " A ) u. U. ( bday " B ) ) = ( suc U. ( bday " A ) u. suc U. ( bday " B ) )
50	36, 49	eqtri 2644	. . 3 |- suc U. ( bday " ( A u. B ) ) = ( suc U. ( bday " A ) u. suc U. ( bday " B ) )
51	50	a1i 11	. 2 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> suc U. ( bday " ( A u. B ) ) = ( suc U. ( bday " A ) u. suc U. ( bday " B ) ) )
52	9, 30, 51	3sstr4d 3648	1 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  noetalem5  31867