Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem paddasslem2 35107
Description: Lemma for paddass 35124. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l |- .<_ = ( le ` K )
paddasslem.j |- .\/ = ( join ` K )
paddasslem.a |- A = ( Atoms ` K )
Assertion
Ref Expression
paddasslem2 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z .<_ ( r .\/ y ) )
Proof of Theorem paddasslem2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1085 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> K e. HL )
2 simp1r 1086 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r e. A )
3 simp23 1096 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z e. A )
4 simp22 1095 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> y e. A )
52, 3, 43jca 1242 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> ( r e. A /\ z e. A /\ y e. A ) )
6 simp21 1094 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> x e. A )
7 simp3l 1089 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> -. r .<_ ( x .\/ y ) )
8 paddasslem.l . . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
9 paddasslem.j . . . . . 6 |- .\/ = ( join ` K )
10 paddasslem.a . . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
118, 9, 10atnlej2 34666 . . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ x e. A /\ y e. A ) /\ -. r .<_ ( x .\/ y ) ) -> r =/= y )
121, 2, 6, 4, 7, 11syl131anc 1339 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r =/= y )
131, 5, 123jca 1242 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> ( K e. HL /\ ( r e. A /\ z e. A /\ y e. A ) /\ r =/= y ) )
14 simp3r 1090 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r .<_ ( y .\/ z ) )
158, 9, 10hlatexch1 34681 . . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ z e. A /\ y e. A ) /\ r =/= y ) -> ( r .<_ ( y .\/ z ) -> z .<_ ( y .\/ r ) ) )
1613, 14, 15sylc 65 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z .<_ ( y .\/ r ) )
17 hllat 34650 . . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
181, 17syl 17 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> K e. Lat )
19 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2019, 10atbase 34576 . . . 4 |- ( r e. A -> r e. ( Base ` K ) )
212, 20syl 17 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r e. ( Base ` K ) )
2219, 10atbase 34576 . . . 4 |- ( y e. A -> y e. ( Base ` K ) )
234, 22syl 17 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
2419, 9latjcom 17059 . . 3 |- ( ( K e. Lat /\ r e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( r .\/ y ) = ( y .\/ r ) )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> ( r .\/ y ) = ( y .\/ r ) )
2616, 25breqtrrd 4681 1 |- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z .<_ ( r .\/ y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638
This theorem is referenced by:  paddasslem4  35109
  Copyright terms: Public domain W3C validator