Theorem latjcom 17059

Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 28365 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcom.b	|- B = ( Base ` K )
latjcom.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
latjcom	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) = ( Y .\/ X ) )

Proof of Theorem latjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
2	1	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
3		latjcom.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
4		latjcom.j	. . . . . . 7 |- .\/ = ( join ` K )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6	3, 4, 5	islat 17047	. . . . . 6 |- ( K e. Lat <-> ( K e. Poset /\ ( dom .\/ = ( B X. B ) /\ dom ( meet ` K ) = ( B X. B ) ) ) )
7		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ ( dom .\/ = ( B X. B ) /\ dom ( meet ` K ) = ( B X. B ) ) ) -> dom .\/ = ( B X. B ) )
8	6, 7	sylbi 207	. . . . 5 |- ( K e. Lat -> dom .\/ = ( B X. B ) )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> dom .\/ = ( B X. B ) )
10	2, 9	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. dom .\/ )
11		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( Y e. B /\ X e. B ) -> <. Y , X >. e. ( B X. B ) )
12	11	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> <. Y , X >. e. ( B X. B ) )
13	12	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> <. Y , X >. e. ( B X. B ) )
14	13, 9	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> <. Y , X >. e. dom .\/ )
15	10, 14	jca 554	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( <. X , Y >. e. dom .\/ /\ <. Y , X >. e. dom .\/ ) )
16		latpos 17050	. . 3 |- ( K e. Lat -> K e. Poset )
17	3, 4	joincom 17030	. . 3 |- ( ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( <. X , Y >. e. dom .\/ /\ <. Y , X >. e. dom .\/ ) ) -> ( X .\/ Y ) = ( Y .\/ X ) )
18	16, 17	syl3anl1 1374	. 2 |- ( ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( <. X , Y >. e. dom .\/ /\ <. Y , X >. e. dom .\/ ) ) -> ( X .\/ Y ) = ( Y .\/ X ) )
19	15, 18	mpdan 702	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) = ( Y .\/ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Posetcpo 16940   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-lub 16974  df-join 16976  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latleeqj2  17064  latjlej2  17066  latnle  17085  latmlej12  17091  latj12  17096  latj32  17097  latj13  17098  latj31  17099  latj4rot  17102  mod2ile  17106  latdisdlem  17189  olj02  34513  omllaw4  34533  cmt2N  34537  cmtbr3N  34541  cvlexch2  34616  cvlexchb2  34618  cvlatexchb2  34622  cvlatexch2  34624  cvlatexch3  34625  cvlatcvr2  34629  cvlsupr2  34630  cvlsupr7  34635  cvlsupr8  34636  hlatjcom  34654  hlrelat5N  34687  cvrval5  34701  cvrexch  34706  cvratlem  34707  cvrat  34708  2atlt  34725  cvrat3  34728  cvrat4  34729  cvrat42  34730  4noncolr3  34739  1cvrat  34762  3atlem1  34769  4atlem4d  34888  4atlem12  34898  paddcom  35099  paddasslem2  35107  pmapjat2  35140  atmod2i1  35147  atmod2i2  35148  llnmod2i2  35149  atmod4i1  35152  atmod4i2  35153  dalawlem4  35160  dalawlem9  35165  dalawlem12  35168  lhpjat2  35307  lhple  35328  trljat1  35453  trljat2  35454  cdlemc1  35478  cdlemc6  35483  cdlemd1  35485  cdleme5  35527  cdleme9  35540  cdleme10  35541  cdleme19e  35595  trlcolem  36014  trljco2  36029  cdlemk7  36136  cdlemk7u  36158  cdlemkid1  36210  dih1  36575  dihjatc2N  36601