Theorem pmltpclem2 23218

Description: Lemma for pmltpc 23219. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmltpc.1	|- ( ph -> F e. ( RR ^pm RR ) )
pmltpc.2	|- ( ph -> A C_ dom F )
pmltpc.3	|- ( ph -> U e. A )
pmltpc.4	|- ( ph -> V e. A )
pmltpc.5	|- ( ph -> W e. A )
pmltpc.6	|- ( ph -> X e. A )
pmltpc.7	|- ( ph -> U <_ V )
pmltpc.8	|- ( ph -> W <_ X )
pmltpc.9	|- ( ph -> -. ( F ` U ) <_ ( F ` V ) )
pmltpc.10	|- ( ph -> -. ( F ` X ) <_ ( F ` W ) )

Assertion

Ref	Expression
pmltpclem2	|- ( ph -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, A   F, a, b, c   V, b, c   U, a, b, c   W, a, b, c   X, b, c

Allowed substitution hints:   ph( a, b, c)   V( a)   X( a)

Proof of Theorem pmltpclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmltpc.5	. . . . 5 |- ( ph -> W e. A )
2	1	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> W e. A )
3		pmltpc.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. A )
4	3	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> U e. A )
5		pmltpc.4	. . . . 5 |- ( ph -> V e. A )
6	5	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> V e. A )
7		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> W < U )
8		pmltpc.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( RR ^pm RR ) )
9		reex 10027	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. _V
10	9, 9	elpm2 7889	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( RR ^pm RR ) <-> ( F : dom F --> RR /\ dom F C_ RR ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F : dom F --> RR /\ dom F C_ RR ) )
12	11	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : dom F --> RR )
13		pmltpc.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ dom F )
14	13, 5	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> V e. dom F )
15	12, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` V ) e. RR )
16		pmltpc.9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( F ` U ) <_ ( F ` V ) )
17	13, 3	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. dom F )
18	12, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` U ) e. RR )
19	15, 18	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` V ) < ( F ` U ) <-> -. ( F ` U ) <_ ( F ` V ) ) )
20	16, 19	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` V ) < ( F ` U ) )
21	15, 20	gtned 10172	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` U ) =/= ( F ` V ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( V = U -> ( F ` V ) = ( F ` U ) )
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( V = U -> ( F ` U ) = ( F ` V ) )
24	23	necon3i 2826	. . . . . . 7 |- ( ( F ` U ) =/= ( F ` V ) -> V =/= U )
25	21, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> V =/= U )
26	11	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F C_ RR )
27	26, 17	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. RR )
28	26, 14	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> V e. RR )
29		pmltpc.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> U <_ V )
30	27, 28, 29	leltned 10190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U < V <-> V =/= U ) )
31	25, 30	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> U < V )
32	31	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> U < V )
33		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> ( F ` W ) < ( F ` U ) )
34	20	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> ( F ` V ) < ( F ` U ) )
35	33, 34	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> ( ( F ` W ) < ( F ` U ) /\ ( F ` V ) < ( F ` U ) ) )
36	35	orcd 407	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> ( ( ( F ` W ) < ( F ` U ) /\ ( F ` V ) < ( F ` U ) ) \/ ( ( F ` U ) < ( F ` W ) /\ ( F ` U ) < ( F ` V ) ) ) )
37	2, 4, 6, 7, 32, 36	pmltpclem1 23217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ W < U ) -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )
38	3	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> U e. A )
39	1	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> W e. A )
40		pmltpc.6	. . . . 5 |- ( ph -> X e. A )
41	40	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> X e. A )
42	13, 1	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. dom F )
43	12, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` W ) e. RR )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( F ` W ) e. RR )
45		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( F ` W ) < ( F ` U ) )
46	44, 45	gtned 10172	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( F ` U ) =/= ( F ` W ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( W = U -> ( F ` W ) = ( F ` U ) )
48	47	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( W = U -> ( F ` U ) = ( F ` W ) )
49	48	necon3i 2826	. . . . . 6 |- ( ( F ` U ) =/= ( F ` W ) -> W =/= U )
50	46, 49	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> W =/= U )
51	27	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> U e. RR )
52	26, 42	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> W e. RR )
54		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> U <_ W )
55	51, 53, 54	leltned 10190	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( U < W <-> W =/= U ) )
56	50, 55	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> U < W )
57		pmltpc.10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( F ` X ) <_ ( F ` W ) )
58	13, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. dom F )
59	12, 58	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` X ) e. RR )
60	43, 59	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` W ) < ( F ` X ) <-> -. ( F ` X ) <_ ( F ` W ) ) )
61	57, 60	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` W ) < ( F ` X ) )
62	43, 61	gtned 10172	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` X ) =/= ( F ` W ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( X = W -> ( F ` X ) = ( F ` W ) )
64	63	necon3i 2826	. . . . . . 7 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` W ) -> X =/= W )
65	62, 64	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X =/= W )
66	26, 58	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
67		pmltpc.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> W <_ X )
68	52, 66, 67	leltned 10190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W < X <-> X =/= W ) )
69	65, 68	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> W < X )
70	69	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> W < X )
71	61	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( F ` W ) < ( F ` X ) )
72	45, 71	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( ( F ` W ) < ( F ` U ) /\ ( F ` W ) < ( F ` X ) ) )
73	72	olcd 408	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> ( ( ( F ` U ) < ( F ` W ) /\ ( F ` X ) < ( F ` W ) ) \/ ( ( F ` W ) < ( F ` U ) /\ ( F ` W ) < ( F ` X ) ) ) )
74	38, 39, 41, 56, 70, 73	pmltpclem1 23217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) /\ U <_ W ) -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )
75	52	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) -> W e. RR )
76	27	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) -> U e. RR )
77	37, 74, 75, 76	ltlecasei 10145	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` W ) < ( F ` U ) ) -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )
78	3	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> U e. A )
79	5	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> V e. A )
80	40	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> X e. A )
81	31	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> U < V )
82		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> V < X )
83	20	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> ( F ` V ) < ( F ` U ) )
84	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` V ) e. RR )
85	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` U ) e. RR )
86	59	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` X ) e. RR )
87	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` V ) < ( F ` U ) )
88	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` W ) e. RR )
89		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` U ) <_ ( F ` W ) )
90	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` W ) < ( F ` X ) )
91	85, 88, 86, 89, 90	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` U ) < ( F ` X ) )
92	84, 85, 86, 87, 91	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> ( F ` V ) < ( F ` X ) )
93	92	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> ( F ` V ) < ( F ` X ) )
94	83, 93	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> ( ( F ` V ) < ( F ` U ) /\ ( F ` V ) < ( F ` X ) ) )
95	94	olcd 408	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> ( ( ( F ` U ) < ( F ` V ) /\ ( F ` X ) < ( F ` V ) ) \/ ( ( F ` V ) < ( F ` U ) /\ ( F ` V ) < ( F ` X ) ) ) )
96	78, 79, 80, 81, 82, 95	pmltpclem1 23217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ V < X ) -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )
97	1	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> W e. A )
98	40	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> X e. A )
99	5	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> V e. A )
100	69	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> W < X )
101	15	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( F ` V ) e. RR )
102	92	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( F ` V ) < ( F ` X ) )
103	101, 102	gtned 10172	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( F ` X ) =/= ( F ` V ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( V = X -> ( F ` V ) = ( F ` X ) )
105	104	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( V = X -> ( F ` X ) = ( F ` V ) )
106	105	necon3i 2826	. . . . . 6 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` V ) -> V =/= X )
107	103, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> V =/= X )
108	66	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> X e. RR )
109	28	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> V e. RR )
110		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> X <_ V )
111	108, 109, 110	leltned 10190	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( X < V <-> V =/= X ) )
112	107, 111	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> X < V )
113	61	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( F ` W ) < ( F ` X ) )
114	113, 102	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( ( F ` W ) < ( F ` X ) /\ ( F ` V ) < ( F ` X ) ) )
115	114	orcd 407	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> ( ( ( F ` W ) < ( F ` X ) /\ ( F ` V ) < ( F ` X ) ) \/ ( ( F ` X ) < ( F ` W ) /\ ( F ` X ) < ( F ` V ) ) ) )
116	97, 98, 99, 100, 112, 115	pmltpclem1 23217	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) /\ X <_ V ) -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )
117	28	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> V e. RR )
118	66	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> X e. RR )
119	96, 116, 117, 118	ltlecasei 10145	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` U ) <_ ( F ` W ) ) -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )
120	77, 119, 43, 18	ltlecasei 10145	1 |- ( ph -> E. a e. A E. b e. A E. c e. A ( a < b /\ b < c /\ ( ( ( F ` a ) < ( F ` b ) /\ ( F ` c ) < ( F ` b ) ) \/ ( ( F ` b ) < ( F ` a ) /\ ( F ` b ) < ( F ` c ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  pmltpc  23219