Theorem elpm2 7889

Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	|- A e. _V
elmap.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpm2	|- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Proof of Theorem elpm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 |- A e. _V
2		elmap.2	. 2 |- B e. _V
3		elpm2g 7874	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 708	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) <-> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   dom cdm 5114   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860

This theorem is referenced by:  rlimf  14232  rlimss  14233  lo1f  14249  lo1dm  14250  o1f  14260  o1dm  14261  coapm  16721  pmltpclem2  23218  mbff  23394  limcrcl  23638  dvnres  23694  c1liplem1  23759  c1lip2  23761  ulmf2  24138  elbigof  42348  elbigodm  42349  elbigoimp  42350