Theorem ltnled 10184

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltnled	|- ( ph -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem ltnled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltnle 10117	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by:  ltsub1  10524  ltsub2  10525  0mnnnnn0  11325  mul2lt0bi  11936  fzp1nel  12424  fzodisj  12502  elfznelfzob  12574  swrdnd  13432  cshwcsh2id  13574  sqrlem7  13989  sqrtlt  14002  lo1bdd2  14255  isercoll  14398  fprodntriv  14672  fzm1ndvds  15044  fzo0dvdseq  15045  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  sadcaddlem  15179  smuval2  15204  bezoutlem3  15258  isprm5  15419  odzdvds  15500  prm23ge5  15520  pc2dvds  15583  pockthg  15610  prmreclem1  15620  prmreclem5  15624  1arith  15631  4sqlem11  15659  vdwlem6  15690  vdwlem11  15695  ramlb  15723  oddvds  17966  gexdvds  17999  sylow1lem3  18015  coe1tmmul2  19646  zringlpirlem3  19834  iccntr  22624  icccmplem2  22626  reconnlem2  22630  evth  22758  lebnumlem3  22762  nmoleub2lem3  22915  minveclem3b  23199  minveclem4  23203  pmltpclem2  23218  ovolgelb  23248  ovolicc2lem2  23286  ovolicc2lem4  23288  mbfposr  23419  itg2const2  23508  itg2cnlem2  23529  itg2cn  23530  plyco0  23948  coeeulem  23980  dgradd2  24024  pilem3  24207  cxplt2  24444  fsumharmonic  24738  dmlogdmgm  24750  lgamgulmlem1  24755  lgamucov  24764  ftalem3  24801  ftalem5  24803  ftalem7  24805  ppiprm  24877  chtprm  24879  chpub  24945  perfectlem2  24955  bposlem1  25009  lgsdilem2  25058  lgsqrlem2  25072  lgsquadlem2  25106  2sqblem  25156  pntpbnd1  25275  pntlem3  25298  nbusgrvtxm1  26281  crctcshwlkn0lem3  26704  frgrreggt1  27251  minvecolem4  27736  minvecolem5  27737  nndiffz1  29548  2sqmod  29648  psgnfzto1stlem  29850  lmdvg  29999  eulerpartlems  30422  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemrv2  30583  signsply0  30628  reprinfz1  30700  erdszelem8  31180  bccolsum  31625  unbdqndv2lem1  32500  unbdqndv2lem2  32501  poimirlem2  33411  poimirlem3  33412  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem26  33435  poimirlem31  33440  poimir  33442  mblfinlem2  33447  itg2addnclem  33461  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  iblabsnclem  33473  ftc1anclem5  33489  areacirclem4  33503  areacirclem5  33504  areacirc  33505  cntotbnd  33595  elpell1qr2  37436  pellfundglb  37449  pellfund14gap  37451  congabseq  37541  jm2.19  37560  jm2.26lem3  37568  dgraa0p  37719  dvgrat  38511  uzwo4  39221  divlt0gt0d  39498  supxrgere  39549  uzublem  39657  nleltd  39681  supminfxr  39694  sqrlearg  39780  lptre2pt  39872  limsupubuzlem  39944  climxrrelem  39981  climxlim2lem  40071  icccncfext  40100  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  volioore  40207  voliooico  40209  voliccico  40216  stoweidlem26  40243  stoweidlem34  40251  stoweidlem59  40276  stirlinglem5  40295  dirkercncflem1  40320  fourierdlem10  40334  fourierdlem19  40343  fourierdlem25  40349  fourierdlem35  40359  fourierdlem40  40364  fourierdlem42  40366  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem78  40401  fourierdlem79  40402  fourierdlem104  40427  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  elaa2lem  40450  etransclem32  40483  etransclem41  40492  hsphoidmvle2  40799  hoidmv1lelem1  40805  hoidmv1lelem2  40806  hoidmv1lelem3  40807  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem4  40812  hoidmvlelem5  40813  hoiqssbllem3  40838  hspmbllem1  40840  hspmbllem2  40841  vonicc  40899  pimdecfgtioo  40927  pimincfltioo  40928  fmtno4prmfac  41484  perfectALTVlem2  41631  aacllem  42547