Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem pmodlem1 35132
Description: Lemma for pmod1i 35134. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l |- .<_ = ( le ` K )
pmodlem.j |- .\/ = ( join ` K )
pmodlem.a |- A = ( Atoms ` K )
pmodlem.s |- S = ( PSubSp ` K )
pmodlem.p |- .+ = ( +P ` K )
Assertion
Ref Expression
pmodlem1 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) -> p e. ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
Distinct variable groups:   q, p, r, A   .\/ , q, r   K, p, q, r   .<_ , q, r   .+ , p, q, r   S, p, q, r   X, p, q, r   Y, p, q, r   Z, p, q, r
Allowed substitution hints:   .\/ ( p)   .<_ ( p)
Proof of Theorem pmodlem1
StepHypRef Expression
1 simpl11 1136 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> K e. HL )
2 simpl12 1137 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> X C_ A )
3 simpl13 1138 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> Y C_ A )
4 ssinss1 3841 . . . . 5 |- ( Y C_ A -> ( Y i^i Z ) C_ A )
53, 4syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> ( Y i^i Z ) C_ A )
6 pmodlem.a . . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
7 pmodlem.p . . . . 5 |- .+ = ( +P ` K )
86, 7sspadd1 35101 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ ( Y i^i Z ) C_ A ) -> X C_ ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
91, 2, 5, 8syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> X C_ ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
10 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> p = q )
11 simpl31 1142 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> q e. X )
1210, 11eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> p e. X )
139, 12sseldd 3604 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p = q ) -> p e. ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
14 simpl11 1136 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> K e. HL )
15 hllat 34650 . . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
1614, 15syl 17 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> K e. Lat )
17 simpl12 1137 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> X C_ A )
18 simpl13 1138 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> Y C_ A )
1918, 4syl 17 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> ( Y i^i Z ) C_ A )
20 simpl31 1142 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> q e. X )
21 simpl32 1143 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> r e. Y )
22 simpl21 1139 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> Z e. S )
23 simpl22 1140 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> X C_ Z )
24 simpl23 1141 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> p e. Z )
25 pmodlem.s . . . . . . . . . 10 |- S = ( PSubSp ` K )
266, 25psubssat 35040 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ Z e. S ) -> Z C_ A )
2714, 22, 26syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> Z C_ A )
2827, 24sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> p e. A )
2918, 21sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> r e. A )
3017, 20sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> q e. A )
3128, 29, 303jca 1242 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> ( p e. A /\ r e. A /\ q e. A ) )
32 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> p =/= q )
33 simpl33 1144 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> p .<_ ( q .\/ r ) )
34 pmodlem.l . . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` K )
35 pmodlem.j . . . . . . . 8 |- .\/ = ( join ` K )
3634, 35, 6hlatexch1 34681 . . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ q e. A ) /\ p =/= q ) -> ( p .<_ ( q .\/ r ) -> r .<_ ( q .\/ p ) ) )
3736imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ q e. A ) /\ p =/= q ) /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) -> r .<_ ( q .\/ p ) )
3814, 31, 32, 33, 37syl31anc 1329 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> r .<_ ( q .\/ p ) )
39 simp31 1097 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> q e. X )
4039snssd 4340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> { q } C_ X )
41 simp22 1095 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> X C_ Z )
4240, 41sstrd 3613 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> { q } C_ Z )
43 simp23 1096 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> p e. Z )
4443snssd 4340 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> { p } C_ Z )
45 simp11 1091 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> K e. HL )
46 simp12 1092 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> X C_ A )
4746, 39sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> q e. A )
4847snssd 4340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> { q } C_ A )
49 simp21 1094 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> Z e. S )
5045, 49, 26syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> Z C_ A )
5150, 43sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> p e. A )
5251snssd 4340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> { p } C_ A )
536, 25, 7paddss 35131 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ ( { q } C_ A /\ { p } C_ A /\ Z e. S ) ) -> ( ( { q } C_ Z /\ { p } C_ Z ) <-> ( { q } .+ { p } ) C_ Z ) )
5445, 48, 52, 49, 53syl13anc 1328 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> ( ( { q } C_ Z /\ { p } C_ Z ) <-> ( { q } .+ { p } ) C_ Z ) )
5542, 44, 54mpbi2and 956 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> ( { q } .+ { p } ) C_ Z )
56 simp33 1099 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> r .<_ ( q .\/ p ) )
5745, 15syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> K e. Lat )
58 simp13 1093 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> Y C_ A )
59 simp32 1098 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> r e. Y )
6058, 59sseldd 3604 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> r e. A )
6134, 35, 6, 7elpadd2at2 35093 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( q e. A /\ p e. A /\ r e. A ) ) -> ( r e. ( { q } .+ { p } ) <-> r .<_ ( q .\/ p ) ) )
6257, 47, 51, 60, 61syl13anc 1328 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> ( r e. ( { q } .+ { p } ) <-> r .<_ ( q .\/ p ) ) )
6356, 62mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> r e. ( { q } .+ { p } ) )
6455, 63sseldd 3604 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ r .<_ ( q .\/ p ) ) ) -> r e. Z )
6514, 17, 18, 22, 23, 24, 20, 21, 38, 64syl333anc 1358 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> r e. Z )
6621, 65elind 3798 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> r e. ( Y i^i Z ) )
6734, 35, 6, 7elpaddri 35088 . . 3 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ ( Y i^i Z ) C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. ( Y i^i Z ) ) /\ ( p e. A /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) -> p e. ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
6816, 17, 19, 20, 66, 28, 33, 67syl322anc 1354 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) /\ p =/= q ) -> p e. ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
6913, 68pm2.61dane 2881 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( Z e. S /\ X C_ Z /\ p e. Z ) /\ ( q e. X /\ r e. Y /\ p .<_ ( q .\/ r ) ) ) -> p e. ( X .+ ( Y i^i Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   lecple 15948   joincjn 16944   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   PSubSpcpsubsp 34782   +Pcpadd 35081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-padd 35082
This theorem is referenced by:  pmodlem2  35133
  Copyright terms: Public domain W3C validator