Theorem pmtrffv 17879

Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T
pmtrfrn.p	|- P = dom ( F \ _I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrffv	|- ( ( F e. R /\ Z e. D ) -> ( F ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )

Proof of Theorem pmtrffv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . 6 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . . 6 |- R = ran T
3		pmtrfrn.p	. . . . . 6 |- P = dom ( F \ _I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 17878	. . . . 5 |- ( F e. R -> ( ( D e. _V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ F = ( T ` P ) ) )
5	4	simprd 479	. . . 4 |- ( F e. R -> F = ( T ` P ) )
6	5	fveq1d 6193	. . 3 |- ( F e. R -> ( F ` Z ) = ( ( T ` P ) ` Z ) )
7	6	adantr 481	. 2 |- ( ( F e. R /\ Z e. D ) -> ( F ` Z ) = ( ( T ` P ) ` Z ) )
8	4	simpld 475	. . 3 |- ( F e. R -> ( D e. _V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) )
9	1	pmtrfv 17872	. . 3 |- ( ( ( D e. _V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> ( ( T ` P ) ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )
10	8, 9	sylan 488	. 2 |- ( ( F e. R /\ Z e. D ) -> ( ( T ` P ) ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )
11	7, 10	eqtrd 2656	1 |- ( ( F e. R /\ Z e. D ) -> ( F ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrfinv  17881  pmtrdifellem3  17898  pmtrdifellem4  17899  psgnunilem1  17913