Theorem pltle 16961

Description: Less-than implies less-than-or-equal. (pssss 3702 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	|- .<_ = ( le ` K )
pltval.s	|- .< = ( lt ` K )

Assertion

Ref	Expression
pltle	|- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. C ) -> ( X .< Y -> X .<_ Y ) )

Proof of Theorem pltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltval.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
2		pltval.s	. . . 4 |- .< = ( lt ` K )
3	1, 2	pltval 16960	. . 3 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. C ) -> ( X .< Y <-> ( X .<_ Y /\ X =/= Y ) ) )
4	3	simprbda 653	. 2 |- ( ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. C ) /\ X .< Y ) -> X .<_ Y )
5	4	ex 450	1 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. C ) -> ( X .< Y -> X .<_ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   lecple 15948   ltcplt 16941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-plt 16958

This theorem is referenced by:  pleval2  16965  pltnlt  16968  pltn2lp  16969  plttr  16970  pospo  16973  ogrpaddlt  29718  isarchi3  29741  archirngz  29743  archiabllem2a  29748  orngsqr  29804  ornglmullt  29807  orngrmullt  29808  atnlt  34600  cvlcvr1  34626  hlrelat  34688  hlrelat3  34698  cvratlem  34707  atltcvr  34721  atlelt  34724  llnnlt  34809  lplnnle2at  34827  lplnnlt  34851  lvolnle3at  34868  lvolnltN  34904  cdlemblem  35079  cdlemb  35080  lhpexle1  35294