Theorem ptval 21373

Description: The value of the product topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptval.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptval	|- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, g, y, z, A   g, F, x, y, z   g, V, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptval

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pt 16105	. . 3 |- Xt_ = ( f e. _V |-> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> Xt_ = ( f e. _V |-> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) ) )
3		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> f = F )
4	3	dmeqd 5326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> dom f = dom F )
5		fndm 5990	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> dom F = A )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> dom F = A )
7	4, 6	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> dom f = A )
8	7	fneq2d 5982	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( g Fn dom f <-> g Fn A ) )
9	3	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
11	7, 10	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
12	7	difeq1d 3727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( dom f \ z ) = ( A \ z ) )
13	9	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> U. ( f ` y ) = U. ( F ` y ) )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
15	12, 14	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
17	8, 11, 16	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) <-> ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
18	7	ixpeq1d 7920	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> X_ y e. dom f ( g ` y ) = X_ y e. A ( g ` y ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( x = X_ y e. dom f ( g ` y ) <-> x = X_ y e. A ( g ` y ) ) )
20	17, 19	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) ) )
21	20	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) ) )
22	21	abbidv 2741	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } )
23		ptval.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
24	22, 23	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } = B )
25	24	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ F Fn A ) /\ f = F ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` B ) )
26		fnex 6481	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. V ) -> F e. _V )
27	26	ancoms 469	. 2 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> F e. _V )
28		fvexd 6203	. 2 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
29	2, 25, 27, 28	fvmptd 6288	1 |- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ixp 7909  df-pt 16105

This theorem is referenced by:  pttop  21385  ptopn  21386  ptuni  21397  ptval2  21404  ptpjcn  21414  ptpjopn  21415  ptclsg  21418  ptcnp  21425  prdstopn  21431  xkoptsub  21457  ptcmplem1  21856  tmdgsum2  21900  prdsxmslem2  22334  ptrecube  33409