Theorem pwssfi 39211

Description: Every element of the power set of A is finite if and only if A is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwssfi	|- ( A e. V -> ( A e. Fin <-> ~P A C_ Fin ) )

Proof of Theorem pwssfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) -> A e. Fin )
2		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
3	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) -> x C_ A )
4		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ x C_ A ) -> x e. Fin )
5	1, 3, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) -> x e. Fin )
6	5	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. x e. ~P A x e. Fin )
7		dfss3 3592	. . . 4 |- ( ~P A C_ Fin <-> A. x e. ~P A x e. Fin )
8	6, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. Fin -> ~P A C_ Fin )
9	8	a1i 11	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. Fin -> ~P A C_ Fin ) )
10		pwidg 4173	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. ~P A )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ~P A C_ Fin ) -> A e. ~P A )
12	7	biimpi 206	. . . . 5 |- ( ~P A C_ Fin -> A. x e. ~P A x e. Fin )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ~P A C_ Fin ) -> A. x e. ~P A x e. Fin )
14		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. Fin <-> A e. Fin ) )
15	14	rspcva 3307	. . . 4 |- ( ( A e. ~P A /\ A. x e. ~P A x e. Fin ) -> A e. Fin )
16	11, 13, 15	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ~P A C_ Fin ) -> A e. Fin )
17	16	ex 450	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A C_ Fin -> A e. Fin ) )
18	9, 17	impbid 202	1 |- ( A e. V -> ( A e. Fin <-> ~P A C_ Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by: (None)