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Theorem ufileu 21723

Description: If the ultrafilter containing a given filter is unique, the filter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ufileu

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ufileu Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 21708	. . . . 5
2		ufilmax 21711	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
3	2	3expa 1265	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
4	3	eqcomd 2628	. . . . . 6 $/\$ $/\$
5	4	ex 450	. . . . 5 $/\$
6	1, 5	sylan2 491	. . . 4 $/\$
7	6	ralrimiva 2966	. . 3
8		ssid 3624	. . . 4
9		sseq2 3627	. . . . 5
10	9	eqreu 3398	. . . 4 $/\$ $/\$
11	8, 10	mp3an2 1412	. . 3 $/\$
12	7, 11	mpdan 702	. 2
13		reu6 3395	. . 3
14		ibibr 358	. . . . . . . . . . 11
15	14	pm5.74ri 261	. . . . . . . . . 10
16		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	bitr3d 270	. . . . . . . . 9
18	17	rspcva 3307	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	adantll 750	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20		ufilfil 21708	. . . . . . . . . . 11
21		filelss 21656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
22	21	ex 450	. . . . . . . . . . 11
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25		filsspw 21655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
27		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
28		filtop 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
30		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
32		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$ $\$ $\$
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
34	27, 33	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
35	34	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
36	26, 35	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
37		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
38		filn0 21666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
40		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $\$
41	37, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
42		filelss 21656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
43	42	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
44		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
45	43, 44	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
47		filss 21657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
50	49	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
53	46, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
54	53	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
55	54	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
56	55	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
57	56	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\$ $\$
60	59	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$ $\$
61	60	ralsng 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $\$ $\$
62		inssdif0 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$
63	62	necon3bbii 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$
64	61, 63	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$ $\$
65	31, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
67	58, 66	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
69		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
71		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
72		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$
73		eqss 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
74	73	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
75		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
76	75	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
77	76	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
78	74, 77	sylan9 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
80	72, 79	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
81	80	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
82	29, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
83		snfbas 21670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
84	71, 82, 29, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
85		fbunfip 21673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $\$ $\$
86	70, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
87	68, 86	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
88		fsubbas 21671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
89	29, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
90	36, 41, 87, 89	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
91		fgcl 21682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93		filssufil 21716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
95		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$
96		biimp 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
97		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
98		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\$
99		unexg 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\$ $\$
100	97, 98, 99	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
101		ssfii 8325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $\$ $\$
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
103		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $\$ $\$
104	90, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
105	102, 104	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
106	105	unssad 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
107		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
109	108	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
110		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
111	110	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$
112	111	a2i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$ $\$
113	96, 109, 112	syl56 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
114	113	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
115	114	rexlimdvw 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
116	95, 115	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
117	94, 116	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
118	117	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
119	118	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
120		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$ $\$
121	31, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
122		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$ $\$ $\$
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
124	105, 123	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
125	124	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
126	119, 125	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
127		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		ufilb 21710	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
130	127, 128, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
131	126, 130	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	con4d 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
134	133	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
135	134	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
136	24, 135	mpdd 43	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
137	136	ssrdv 3609	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
138	19, 137	eqssd 3620	. . . . . 6 $/\$ $/\$
139		simplr 792	. . . . . 6 $/\$ $/\$
140	138, 139	eqeltrd 2701	. . . . 5 $/\$ $/\$
141	140	ex 450	. . . 4 $/\$
142	141	rexlimdva 3031	. . 3
143	13, 142	syl5bi 232	. 2
144	12, 143	impbid2 216	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

wreu 2914

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfi 8316

cfbas 19734

cfg 19735

cfil 21649

cufil 21703

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-rpss 6937 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-fin 7959 df-fi 8317 df-card 8765 df-ac 8939 df-cda 8990 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-fil 21650 df-ufil 21705

This theorem is referenced by: (None)

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