Theorem fourierdlem50 40373

Description: Continuity of O and its limits with respect to the S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem50.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem50.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem50.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem50.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem50.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem50.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem50.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem50.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem50.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem50.t	|- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem50.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem50.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem50.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem50.u	|- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem50.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem50	|- ( ph -> ( U e. ( 0..^ M ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, J, k   i, M, k   m, M, p, i   f, N   Q, i, k   S, f   S, i, k   T, f   U, i   i, V, k   V, p   i, X, k   m, X, p   ph, f   ph, i, k

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   ch( f, i, k, m, p)   A( f, i, k, m, p)   B( f, i, k, m, p)   P( f, i, k, m, p)   Q( f, m, p)   S( m, p)   T( i, k, m, p)   U( f, k, m, p)   J( f, m, p)   M( f)   N( i, k, m, p)   V( f, m)   X( f)

Proof of Theorem fourierdlem50

Dummy variables x h l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem50.u	. . 3 |- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
2		fourierdlem50.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem50.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem50.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem50.altb	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
6	3, 4, 5	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ B )
7		fourierdlem50.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem50.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
9	7, 2, 8	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
10		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. RR
11	10	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. RR
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi e. RR )
13		fourierdlem50.xre	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. RR )
14	12, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u pi + X ) e. RR )
15	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> pi e. RR )
16	15, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi + X ) e. RR )
17	14, 16	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
18	9, 17	fssd 6057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
19	18	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
20	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
21	19, 20	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
22		fourierdlem50.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
23	21, 22	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
24	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
28		nnssnn0 11295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN C_ NN0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN C_ NN0 )
30		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
31	29, 30	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
32	31, 2	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
33		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
35	18, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )
36	35, 13	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )
37	24, 27, 34, 36	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
38	7	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
40	8, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
41	40	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
42	41	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) )
43	42	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u pi + X ) - X ) )
45	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. CC )
46	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
47	45, 46	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) - X ) = -u pi )
48	37, 44, 47	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
49	12	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
50	15	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
51		fourierdlem50.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
52	3	leidd 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ A )
53	3, 4, 3, 52, 6	eliccd 39726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
54	51, 53	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
55		iccgelb 12230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ A e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ A )
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u pi <_ A )
57	48, 56	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
58	4	leidd 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B <_ B )
59	3, 4, 4, 6, 58	eliccd 39726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
60	51, 59	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
61		iccleub 12229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ B e. ( -u pi [,] pi ) ) -> B <_ pi )
62	49, 50, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B <_ pi )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( V ` i ) = ( V ` M ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` M ) - X ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i = M ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` M ) - X ) )
66		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
67	32, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
68	18, 67	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ` M ) e. RR )
69	68, 13	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( V ` M ) - X ) e. RR )
70	24, 65, 67, 69	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) = ( ( V ` M ) - X ) )
71	42	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` M ) = ( pi + X ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` M ) - X ) = ( ( pi + X ) - X ) )
73	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. CC )
74	73, 46	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( pi + X ) - X ) = pi )
75	70, 72, 74	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi = ( Q ` M ) )
76	62, 75	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B <_ ( Q ` M ) )
77		fourierdlem50.j	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
78		fourierdlem50.t	. . . . . . . 8 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
79		prfi 8235	. . . . . . . . . . . 12 |- { A , B } e. Fin
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
81		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
82	22	rnmptfi 39351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
84		infi 8184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
86		unfi 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin ) -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
87	80, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
88	78, 87	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. Fin )
89	3, 4	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
90		prssg 4350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
91	3, 4, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
92	89, 91	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { A , B } C_ RR )
93		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A (,) B )
94		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
95	93, 94	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR )
97	92, 96	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ RR )
98	78, 97	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T C_ RR )
99		fourierdlem50.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
100		fourierdlem50.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
101	88, 98, 99, 100	fourierdlem36 40360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
102		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- sup ( { x e. ( 0..^ M ) | ( Q ` x ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) = sup ( { x e. ( 0..^ M ) | ( Q ` x ) <_ ( S ` J ) } , RR , < )
103	2, 3, 4, 6, 23, 57, 76, 77, 78, 101, 102	fourierdlem20 40344	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
104		fourierdlem50.ch	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
105	104	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ph )
108		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
109	105, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> k e. ( 0..^ M ) )
110	107, 109	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) )
111		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
112	105, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> i e. ( 0..^ M ) )
113		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> k e. ( 0 ... M ) )
114	113	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0 ... M ) )
115	105, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> k e. ( 0 ... M ) )
116	107, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
117	116, 115	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( V ` k ) e. RR )
118	107, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> X e. RR )
119	117, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( ( V ` k ) - X ) e. RR )
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = k -> ( V ` i ) = ( V ` k ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = k -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` k ) - X ) )
122	121, 22	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
123	115, 119, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
124	123, 119	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` k ) e. RR )
125	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
126		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
128	125, 127	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
129	107, 112, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
130		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
131	101, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
132		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) --> T )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> T )
134		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
135	77, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
136	133, 135	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. T )
137	98, 136	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
138	107, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
139		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
140	77, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
141	133, 140	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ` J ) e. T )
142	98, 141	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
143	107, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( S ` J ) e. RR )
144	105	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
145	124	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Q ` k ) e. RR* )
146	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
147		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
149	146, 148	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR )
150	149	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
151	110, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
152	143	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( S ` J ) e. RR* )
153	138	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
154		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
155	154	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. RR )
156	155	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J < ( J + 1 ) )
157	77, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> J < ( J + 1 ) )
158		isoeq5 6571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) -> ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) <-> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) ) )
159	78, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) <-> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) )
160	101, 159	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) )
161		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
162	160, 140, 135, 161	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
163	157, 162	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
164	107, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
165	145, 151, 152, 153, 164	ioossioobi 39743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
166	144, 165	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
167	166	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) )
168	124, 143, 138, 167, 164	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` k ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
169		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
170	169	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
171	170	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
172	105, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> i e. ( 0 ... M ) )
173	107, 172, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
174	22	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
175	172, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
176	175, 173	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR )
177		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
178	105, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
179	176, 129, 143, 138, 164, 178	fourierdlem10 40334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
180	179	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
181	124, 138, 129, 168, 180	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` k ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
182	124, 129, 118, 181	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
183	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) = ( X + ( ( V ` k ) - X ) ) )
184	107, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> X e. CC )
185	117	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` k ) e. CC )
186	184, 185	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` k ) - X ) ) = ( V ` k ) )
187	183, 186	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` k ) = ( X + ( Q ` k ) ) )
188	112, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
189	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
190	189, 127	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
191	107, 112, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
192	191, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
193	188, 192	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) )
194		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( k e. ( 0 ... M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
195		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( V ` k ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
196	195	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( V ` k ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
197	196	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( V ` k ) - X ) e. RR <-> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) )
198	194, 197	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) ) )
199		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
200	199, 196	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) <-> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
201	198, 200	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) ) <-> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) ) )
202	201, 122	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
203	188, 193, 202	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
205	191	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
206	184, 205	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
207	204, 206	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
208	182, 187, 207	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
209		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( l e. ( 0..^ M ) <-> i e. ( 0..^ M ) ) )
210	209	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) ) )
211		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )
212	211	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( V ` ( l + 1 ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
213	212	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
214	210, 213	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = i -> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
215		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( V ` l ) = ( V ` i ) )
216	215	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = i -> ( ( V ` k ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) ) )
217	214, 216	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = i -> ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) ) ) )
218		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = k -> ( h e. ( 0..^ M ) <-> k e. ( 0..^ M ) ) )
219	218	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = k -> ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) ) )
220	219	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = k -> ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) ) )
221		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = k -> ( V ` h ) = ( V ` k ) )
222	221	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = k -> ( ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) )
223	220, 222	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = k -> ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) ) )
224	221	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = k -> ( ( V ` h ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) )
225	223, 224	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = k -> ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) ) )
226		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. ZZ )
227	226	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h e. ZZ )
228		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l e. ZZ )
229	228	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> l e. ZZ )
230		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
231	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
232		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
233	232	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( l + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
234	231, 233	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
235	234	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
236	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
237	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
238		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. ( 0 ... M ) )
239	238	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> h e. ( 0 ... M ) )
240	237, 239	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` h ) e. RR )
241	240	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` h ) e. RR )
242	228	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l e. RR )
243		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. RR -> ( l + 1 ) e. RR )
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. RR )
245	244	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
246	226	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. RR )
247	246	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> h e. RR )
248		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. h < ( l + 1 ) )
249	245, 247, 248	nltled 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( l + 1 ) <_ h )
250	228	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. ZZ )
251	250	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( l + 1 ) e. ZZ )
252	226	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ZZ )
253		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( l + 1 ) <_ h )
254		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. ZZ /\ h e. ZZ /\ ( l + 1 ) <_ h ) )
255	251, 252, 253, 254	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) )
256	255	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) )
257		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ph )
258		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 e. ZZ )
259		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
260	259	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> M e. ZZ )
261		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i e. ZZ )
262	261	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ZZ )
263	258, 260, 262	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
264		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 e. RR )
265	261	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i e. RR )
266	265	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. RR )
267	242	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l e. RR )
268		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ l )
269	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ l )
270	267, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
271	267	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l < ( l + 1 ) )
272		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> ( l + 1 ) <_ i )
273	272	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
274	267, 270, 266, 271, 273	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l < i )
275	264, 267, 266, 269, 274	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 < i )
276	264, 266, 275	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ i )
277	276	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ i )
278	265	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. RR )
279	259	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
280	279	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> M e. RR )
281	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> h e. RR )
282		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i <_ h )
283	282	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ h )
284		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h < M )
285	284	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> h < M )
286	278, 281, 280, 283, 285	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i < M )
287	278, 280, 286	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ M )
288	287	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ M )
289	263, 277, 288	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
290		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i e. ( 0 ... M ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
291	289, 290	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
292	291	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
293	257, 292, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
294	293	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
295		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ph )
296		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
297		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i e. ZZ )
298	297	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
299		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
300	298	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. RR )
301	242	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l e. RR )
302	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 <_ l )
303	301, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
304	301	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l < ( l + 1 ) )
305		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
306	305	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
307	301, 303, 300, 304, 306	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l < i )
308	299, 301, 300, 302, 307	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 < i )
309	299, 300, 308	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
310		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 0 <_ i ) )
311	296, 298, 309, 310	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
312	311	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
313		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
314	313	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
315	297	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i e. RR )
316	315	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. RR )
317		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h e. RR -> ( h - 1 ) e. RR )
318	246, 317	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) e. RR )
319	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( h - 1 ) e. RR )
320	279	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> M e. RR )
321		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i <_ ( h - 1 ) )
322	321	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i <_ ( h - 1 ) )
323	246	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) < h )
324	318, 246, 279, 323, 284	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) < M )
325	324	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( h - 1 ) < M )
326	316, 319, 320, 322, 325	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
327	326	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
328	327	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
329		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
330	312, 314, 328, 329	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
331	169, 19	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
332	41	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
333	332	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
334	331, 190, 333	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
335	295, 330, 334	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
336	335	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
337	256, 294, 336	monoord 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) )
338	249, 337	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) )
339	236, 241, 338	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
340	339	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
341	230, 340	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h < ( l + 1 ) )
342		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( h <_ l <-> h < ( l + 1 ) ) )
343	227, 229, 342	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( h <_ l <-> h < ( l + 1 ) ) )
344	341, 343	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h <_ l )
345		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l e. ( ZZ>= ` h ) <-> ( h e. ZZ /\ l e. ZZ /\ h <_ l ) )
346	227, 229, 344, 345	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> l e. ( ZZ>= ` h ) )
347	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
348		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 e. ZZ )
349	259	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> M e. ZZ )
350		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( h ... l ) -> i e. ZZ )
351	350	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ZZ )
352	348, 349, 351	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
353		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 e. RR )
354	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> h e. RR )
355	350	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( h ... l ) -> i e. RR )
356	355	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. RR )
357		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ h )
358	357	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ h )
359		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( h ... l ) -> h <_ i )
360	359	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> h <_ i )
361	353, 354, 356, 358, 360	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ i )
362	361	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ i )
363	355	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. RR )
364	313	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
365	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> M e. RR )
366	242	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> l e. RR )
367		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( h ... l ) -> i <_ l )
368	367	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ l )
369		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l < M )
370	369	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> l < M )
371	363, 366, 365, 368, 370	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i < M )
372	363, 365, 371	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ M )
373	372	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ M )
374	352, 362, 373	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
375	374, 290	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
376	375	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
377	347, 376	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
378	377	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
379		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ph )
380		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
381		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i e. ZZ )
382	381	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
383		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
384	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> h e. RR )
385	382	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. RR )
386	357	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 <_ h )
387		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> h <_ i )
388	387	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> h <_ i )
389	383, 384, 385, 386, 388	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
390	380, 382, 389, 310	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
391	390	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
392	391	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
393	313	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
394	381	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i e. RR )
395	394	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. RR )
396	242	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l e. RR )
397	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> M e. RR )
398		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i <_ ( l - 1 ) )
399	398	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i <_ ( l - 1 ) )
400		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( i < l <-> i <_ ( l - 1 ) ) )
401	381, 228, 400	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( i < l <-> i <_ ( l - 1 ) ) )
402	399, 401	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < l )
403	369	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l < M )
404	395, 396, 397, 402, 403	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
405	404	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
406	405	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
407	392, 393, 406, 329	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
408	379, 407, 334	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
409	346, 378, 408	monoord 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) )
410	225, 409	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) )
411	217, 410	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
412	110, 112, 208, 411	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
413	107, 112	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
414	110, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR )
415	179	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) )
416	176, 143, 138, 415, 164	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
417	166	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) )
418	176, 138, 414, 416, 417	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( k + 1 ) ) )
419	176, 414, 118, 418	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
420	175	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) )
421	107, 172, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR )
422	421	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` i ) e. CC )
423	184, 422	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) = ( V ` i ) )
424	420, 423	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
425	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
426		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( V ` i ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
427	426	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
428	427	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i = ( k + 1 ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
429	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
430	429, 148	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. RR )
431	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
432	430, 431	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) e. RR )
433	425, 428, 148, 432	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
434	107, 109, 433	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
435	434	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) ) )
436	110, 430	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. RR )
437	436	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. CC )
438	184, 437	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
439	435, 438	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
440	419, 424, 439	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) )
441		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( l e. ( 0..^ M ) <-> k e. ( 0..^ M ) ) )
442	441	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) ) )
443		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = k -> ( l + 1 ) = ( k + 1 ) )
444	443	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( V ` ( l + 1 ) ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
445	444	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) )
446	442, 445	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = k -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) ) )
447		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( V ` l ) = ( V ` k ) )
448	447	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = k -> ( ( V ` i ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) )
449	446, 448	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = k -> ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) ) )
450		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = i -> ( h e. ( 0..^ M ) <-> i e. ( 0..^ M ) ) )
451	450	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = i -> ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) ) )
452	451	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = i -> ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) ) )
453		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = i -> ( V ` h ) = ( V ` i ) )
454	453	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = i -> ( ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) )
455	452, 454	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = i -> ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) ) )
456	453	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = i -> ( ( V ` h ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) )
457	455, 456	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = i -> ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) ) )
458	457, 409	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) )
459	449, 458	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) )
460	413, 109, 440, 459	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) )
461	117, 421	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( ( V ` k ) = ( V ` i ) <-> ( ( V ` k ) <_ ( V ` i ) /\ ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) ) )
462	412, 460, 461	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( V ` k ) = ( V ` i ) )
463	7, 2, 8	fourierdlem34 40358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) -1-1-> RR )
464	107, 463	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> V : ( 0 ... M ) -1-1-> RR )
465		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V : ( 0 ... M ) -1-1-> RR /\ ( k e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( V ` k ) = ( V ` i ) <-> k = i ) )
466	464, 115, 172, 465	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( ( V ` k ) = ( V ` i ) <-> k = i ) )
467	462, 466	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> k = i )
468	104, 467	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k = i )
469	468	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) -> k = i ) )
470		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ k = i ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
471		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( Q ` k ) = ( Q ` i ) )
472		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( k + 1 ) = ( i + 1 ) )
473	472	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
474	471, 473	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = i -> ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
475	474	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = i -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
476	475	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ k = i ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
477	470, 476	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ k = i ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
478	477	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( k = i -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
479	478	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( k = i -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
480	469, 479	impbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) )
481	480	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. k e. ( 0..^ M ) ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) )
482	481	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> A. k e. ( 0..^ M ) ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) ) )
483	482	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> E. i e. ( 0..^ M ) A. k e. ( 0..^ M ) ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) ) )
484	103, 483	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) A. k e. ( 0..^ M ) ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) )
485		reu6 3395	. . . . . 6 |- ( E! k e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) A. k e. ( 0..^ M ) ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) )
486	484, 485	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> E! k e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
487		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( Q ` i ) = ( Q ` k ) )
488		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( i + 1 ) = ( k + 1 ) )
489	488	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( k + 1 ) ) )
490	487, 489	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
491	490	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
492	491	cbvreuv 3173	. . . . 5 |- ( E! i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> E! k e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
493	486, 492	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> E! i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
494		riotacl 6625	. . . 4 |- ( E! i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( 0..^ M ) )
495	493, 494	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( 0..^ M ) )
496	1, 495	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> U e. ( 0..^ M ) )
497	1	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = U
498	497	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = U )
499		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = U -> ( Q ` i ) = ( Q ` U ) )
500		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( i = U -> ( i + 1 ) = ( U + 1 ) )
501	500	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( i = U -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( U + 1 ) ) )
502	499, 501	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( i = U -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
503	502	sseq2d 3633	. . . . 5 |- ( i = U -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )
504	503	riota2 6633	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0..^ M ) /\ E! i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) <-> ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = U ) )
505	496, 493, 504	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) <-> ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = U ) )
506	498, 505	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) )
507	496, 506	jca 554	1 |- ( ph -> ( U e. ( 0..^ M ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   iotacio 5849   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem86  40409  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427