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Theorem rlim 14226
Description: Express the predicate: The limit of complex number function F is C, or F converges to C, in the real sense. This means that for any real x, no matter how small, there always exists a number y such that the absolute difference of any number in the function beyond y and the limit is less than x. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim.1 |- ( ph -> F : A --> CC )
rlim.2 |- ( ph -> A C_ RR )
rlim.4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = B )
Assertion
Ref Expression
rlim |- ( ph -> ( F ~~> r C <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) )
Distinct variable groups:   z, A   x, y, z, C   x, F, y, z   ph, x, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y, z)
Proof of Theorem rlim
Dummy variables w f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimrel 14224 . . . . 5 |- Rel ~~> r
21brrelex2i 5159 . . . 4 |- ( F ~~> r C -> C e. _V )
32a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( F ~~> r C -> C e. _V ) )
4 elex 3212 . . . . 5 |- ( C e. CC -> C e. _V )
54ad2antrl 764 . . . 4 |- ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) -> C e. _V )
65a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) -> C e. _V ) )
7 rlim.1 . . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
8 rlim.2 . . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
9 cnex 10017 . . . . . 6 |- CC e. _V
10 reex 10027 . . . . . 6 |- RR e. _V
11 elpm2r 7875 . . . . . 6 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
129, 10, 11mpanl12 718 . . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
137, 8, 12syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
14 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f e. ( CC ^pm RR ) <-> F e. ( CC ^pm RR ) ) )
15 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( w = C -> ( w e. CC <-> C e. CC ) )
1614, 15bi2anan9 917 . . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( ( f e. ( CC ^pm RR ) /\ w e. CC ) <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ C e. CC ) ) )
17 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> f = F )
1817dmeqd 5326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> dom f = dom F )
19 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
20 oveq12 6659 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` z ) = ( F ` z ) /\ w = C ) -> ( ( f ` z ) - w ) = ( ( F ` z ) - C ) )
2119, 20sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( ( f ` z ) - w ) = ( ( F ` z ) - C ) )
2221fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
2322breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
2423imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
2518, 24raleqbidv 3152 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( A. z e. dom f ( y <_ z -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x ) <-> A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
2625rexbidv 3052 . . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( E. y e. RR A. z e. dom f ( y <_ z -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x ) <-> E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
2726ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom f ( y <_ z -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
2816, 27anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ w = C ) -> ( ( ( f e. ( CC ^pm RR ) /\ w e. CC ) /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom f ( y <_ z -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x ) ) <-> ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ C e. CC ) /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
29 df-rlim 14220 . . . . . . 7 |- ~~> r = { <. f , w >. | ( ( f e. ( CC ^pm RR ) /\ w e. CC ) /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom f ( y <_ z -> ( abs ` ( ( f ` z ) - w ) ) < x ) ) }
3028, 29brabga 4989 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ C e. _V ) -> ( F ~~> r C <-> ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ C e. CC ) /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
31 anass 681 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ C e. CC ) /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
3230, 31syl6bb 276 . . . . 5 |- ( ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ C e. _V ) -> ( F ~~> r C <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
3332ex 450 . . . 4 |- ( F e. ( CC ^pm RR ) -> ( C e. _V -> ( F ~~> r C <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) ) )
3413, 33syl 17 . . 3 |- ( ph -> ( C e. _V -> ( F ~~> r C <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) ) )
353, 6, 34pm5.21ndd 369 . 2 |- ( ph -> ( F ~~> r C <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
3613biantrurd 529 . 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
37 fdm 6051 . . . . . . . 8 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
387, 37syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = A )
3938raleqdv 3144 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
40 rlim.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = B )
4140oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - C ) = ( B - C ) )
4241fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) = ( abs ` ( B - C ) ) )
4342breq1d 4663 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x <-> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) )
4443imbi2d 330 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
4544ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
4639, 45bitrd 268 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
4746rexbidv 3052 . . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
4847ralbidv 2986 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
4948anbi2d 740 . 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) )
5035, 36, 493bitr2d 296 1 |- ( ph -> ( F ~~> r C <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-rlim 14220
This theorem is referenced by:  rlim2  14227  rlimcl  14234  rlimclim  14277  rlimres  14289  caurcvgr  14404
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