Theorem caurcvgr 14404

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that F is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvgr.1	|- ( ph -> A C_ RR )
caurcvgr.2	|- ( ph -> F : A --> RR )
caurcvgr.3	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
caurcvgr.4	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
caurcvgr	|- ( ph -> F ~~> r ( limsup ` F ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, A   j, F, k, x   ph, j, k, x

Proof of Theorem caurcvgr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
2		caurcvgr.2	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> RR )
3		caurcvgr.3	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
4		caurcvgr.4	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
5		1rp 11836	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
7	1, 2, 3, 4, 6	caucvgrlem 14403	. . . 4 |- ( ph -> E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. 1 ) ) ) )
8		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. 1 ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
9	8	rexlimivw 3029	. . . 4 |- ( E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. 1 ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR )
10	7, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR )
11	10	recnd 10068	. 2 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. CC )
12	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR )
13	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F : A --> RR )
14	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
15	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
16		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
17		3re 11094	. . . . . . . . 9 |- 3 e. RR
18		3pos 11114	. . . . . . . . 9 |- 0 < 3
19	17, 18	elrpii 11835	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR+
20		rpdivcl 11856	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( y / 3 ) e. RR+ )
21	16, 19, 20	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 3 ) e. RR+ )
22	12, 13, 14, 15, 21	caucvgrlem 14403	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) )
23		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) )
24	23	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) -> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) )
26		ssrexv 3667	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) )
27	12, 25, 26	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) )
28		rpcn 11841	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. CC )
30		3cn 11095	. . . . . . . . 9 |- 3 e. CC
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> 3 e. CC )
32		3ne0 11115	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> 3 =/= 0 )
34	29, 31, 33	divcan2d 10803	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( 3 x. ( y / 3 ) ) = y )
35	34	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) )
36	35	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) <-> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) )
37	36	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) )
38	27, 37	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) )
39	38	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) )
40		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
41		fss 6056	. . . 4 |- ( ( F : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : A --> CC )
42	2, 40, 41	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> F : A --> CC )
43		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
44	42, 1, 43	rlim 14226	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> r ( limsup ` F ) <-> ( ( limsup ` F ) e. CC /\ A. y e. RR+ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) ) )
45	11, 39, 44	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> F ~~> r ( limsup ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   3c3 11071   RR+crp 11832   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  14405  caurcvg  14407