Theorem salgenval 40541

Description: The sigma-algebra generated by a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
salgenval	|- ( X e. V -> (SalGen ` X ) = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )

Distinct variable group:   X, s

Allowed substitution hint:   V( s)

Proof of Theorem salgenval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-salgen 40533	. . 3 |- SalGen = ( x e. _V |-> |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. x /\ x C_ s ) } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( X e. V -> SalGen = ( x e. _V |-> |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. x /\ x C_ s ) } ) )
3		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( x = X -> U. x = U. X )
4	3	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( U. s = U. x <-> U. s = U. X ) )
5		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( x C_ s <-> X C_ s ) )
6	4, 5	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( U. s = U. x /\ x C_ s ) <-> ( U. s = U. X /\ X C_ s ) ) )
7	6	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( x = X -> { s e. SAlg | ( U. s = U. x /\ x C_ s ) } = { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
8	7	inteqd 4480	. . 3 |- ( x = X -> |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. x /\ x C_ s ) } = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
9	8	adantl 482	. 2 |- ( ( X e. V /\ x = X ) -> |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. x /\ x C_ s ) } = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
10		elex 3212	. 2 |- ( X e. V -> X e. _V )
11		uniexg 6955	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> U. X e. _V )
12		pwsal 40535	. . . . . . 7 |- ( U. X e. _V -> ~P U. X e. SAlg )
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( X e. V -> ~P U. X e. SAlg )
14		unipw 4918	. . . . . . 7 |- U. ~P U. X = U. X
15	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. V -> U. ~P U. X = U. X )
16		pwuni 4474	. . . . . . 7 |- X C_ ~P U. X
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. V -> X C_ ~P U. X )
18	13, 15, 17	jca32 558	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( ~P U. X e. SAlg /\ ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) ) )
19		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( s = ~P U. X -> U. s = U. ~P U. X )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( s = ~P U. X -> ( U. s = U. X <-> U. ~P U. X = U. X ) )
21		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( s = ~P U. X -> ( X C_ s <-> X C_ ~P U. X ) )
22	20, 21	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( s = ~P U. X -> ( ( U. s = U. X /\ X C_ s ) <-> ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) ) )
23	22	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ~P U. X e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } <-> ( ~P U. X e. SAlg /\ ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) ) )
24	18, 23	sylibr 224	. . . 4 |- ( X e. V -> ~P U. X e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
25		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ~P U. X e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( X e. V -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )
27		intex 4820	. . 3 |- ( { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) <-> |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } e. _V )
28	26, 27	sylib 208	. 2 |- ( X e. V -> |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } e. _V )
29	2, 9, 10, 28	fvmptd 6288	1 |- ( X e. V -> (SalGen ` X ) = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-salg 40529  df-salgen 40533

This theorem is referenced by:  salgencl  40550  sssalgen  40553  salgenss  40554  salgenuni  40555  issalgend  40556