Theorem issalgend 40556

Description: One side of dfsalgen2 40559. If a sigma-algebra on U. X includes X and it is included in all the sigma-algebras with such two properties, then it is the sigma-algebra generated by X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issalgend.x	|- ( ph -> X e. V )
issalgend.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
issalgend.u	|- ( ph -> U. S = U. X )
issalgend.i	|- ( ph -> X C_ S )
issalgend.a	|- ( ( ph /\ ( y e. SAlg /\ U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> S C_ y )

Assertion

Ref	Expression
issalgend	|- ( ph -> (SalGen ` X ) = S )

Distinct variable groups:   y, S   y, X   ph, y

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem issalgend

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issalgend.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
2		eqid 2622	. . 3 |- (SalGen ` X ) = (SalGen ` X )
3		issalgend.s	. . 3 |- ( ph -> S e. SAlg )
4		issalgend.i	. . 3 |- ( ph -> X C_ S )
5		issalgend.u	. . 3 |- ( ph -> U. S = U. X )
6	1, 2, 3, 4, 5	salgenss 40554	. 2 |- ( ph -> (SalGen ` X ) C_ S )
7		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } ) -> ph )
8		elrabi 3359	. . . . . . 7 |- ( y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> y e. SAlg )
9	8	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } ) -> y e. SAlg )
10		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = y -> U. s = U. y )
11	10	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = y -> ( U. s = U. X <-> U. y = U. X ) )
12		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = y -> ( X C_ s <-> X C_ y ) )
13	11, 12	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( s = y -> ( ( U. s = U. X /\ X C_ s ) <-> ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) )
14	13	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } <-> ( y e. SAlg /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) )
15	14	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> ( y e. SAlg /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) )
16	15	simprld 795	. . . . . . 7 |- ( y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> U. y = U. X )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } ) -> U. y = U. X )
18	15	simprrd 797	. . . . . . 7 |- ( y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> X C_ y )
19	18	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } ) -> X C_ y )
20		issalgend.a	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. SAlg /\ U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> S C_ y )
21	7, 9, 17, 19, 20	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } ) -> S C_ y )
22	21	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } S C_ y )
23		ssint 4493	. . . 4 |- ( S C_ |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } <-> A. y e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } S C_ y )
24	22, 23	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> S C_ |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
25		salgenval 40541	. . . 4 |- ( X e. V -> (SalGen ` X ) = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
26	1, 25	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (SalGen ` X ) = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
27	24, 26	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ph -> S C_ (SalGen ` X ) )
28	6, 27	eqssd 3620	1 |- ( ph -> (SalGen ` X ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-salg 40529  df-salgen 40533

This theorem is referenced by:  dfsalgen2  40559