Theorem scmsuppss 42153

Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmsuppss.s	|- S = (Scalar ` M )
scmsuppss.r	|- R = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
scmsuppss	|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) supp ( 0g ` M ) ) C_ ( A supp ( 0g ` S ) ) )

Distinct variable groups:   v, A   v, M   v, R   v, V

Allowed substitution hint:   S( v)

Proof of Theorem scmsuppss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
2		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( A : V --> R -> dom A = V )
3		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = x -> ( A ` v ) = ( A ` x ) )
5		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = x -> v = x )
6	4, 5	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = x -> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) /\ v = x ) -> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> x e. V )
9		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. _V )
11	3, 7, 8, 10	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) = ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) )
12	11	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) =/= ( 0g ` M ) ) )
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ` x ) = ( 0g ` S ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( 0g ` S ) ( .s ` M ) x ) )
14		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
15		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
16	15	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
19	18	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
21		scmsuppss.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = (Scalar ` M )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
25	20, 21, 22, 23, 24	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. LMod /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( 0g ` S ) ( .s ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
26	14, 19, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( 0g ` S ) ( .s ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
27	13, 26	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) /\ ( A ` x ) = ( 0g ` S ) ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
28	27	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` S ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( 0g ` M ) ) )
29	28	necon3d 2815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) =/= ( 0g ` M ) -> ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) ) )
30	12, 29	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) -> ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) ) )
31	30	ss2rabdv 3683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) -> { x e. V | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } )
32		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) e. _V
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) )
34	32, 33	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = V
35		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = V -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom A = V -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
37		rabeq 3192	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom A = V -> { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } = { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } )
38	36, 37	sseq12d 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( dom A = V -> ( { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } <-> { x e. V | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) -> ( { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } <-> { x e. V | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) -> ( { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } <-> { x e. V | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) )
41	31, 40	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( dom A = V /\ A : V --> R ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ M e. LMod ) ) -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } )
42	41	exp43 640	. . . . . 6 |- ( dom A = V -> ( A : V --> R -> ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( M e. LMod -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) ) ) )
43	2, 42	mpcom 38	. . . . 5 |- ( A : V --> R -> ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( M e. LMod -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) ) )
44	1, 43	syl 17	. . . 4 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( M e. LMod -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) ) )
45	44	com13 88	. . 3 |- ( M e. LMod -> ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( A e. ( R ^m V ) -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } ) ) )
46	45	3imp 1256	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } )
47		funmpt 5926	. . . 4 |- Fun ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) )
48	47	a1i 11	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> Fun ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
49		mptexg 6484	. . . 4 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) e. _V )
50	49	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) e. _V )
51		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
52		suppval1 7301	. . 3 |- ( ( Fun ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) /\ ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) e. _V /\ ( 0g ` M ) e. _V ) -> ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
53	48, 50, 51, 52	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) | ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
54		elmapfun 7881	. . . 4 |- ( A e. ( R ^m V ) -> Fun A )
55	54	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> Fun A )
56		simp3 1063	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> A e. ( R ^m V ) )
57		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( 0g ` S ) e. _V )
58		suppval1 7301	. . 3 |- ( ( Fun A /\ A e. ( R ^m V ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) -> ( A supp ( 0g ` S ) ) = { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( A supp ( 0g ` S ) ) = { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` S ) } )
60	46, 53, 59	3sstr4d 3648	1 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ A e. ( R ^m V ) ) -> ( ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) supp ( 0g ` M ) ) C_ ( A supp ( 0g ` S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-map 7859  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  scmsuppfi  42158