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Theorem mndpsuppss 42152
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mndpsuppss.r |- R = ( Base ` M )
Assertion
Ref Expression
mndpsuppss |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) supp ( 0g ` M ) ) C_ ( ( A supp ( 0g ` M ) ) u. ( B supp ( 0g ` M ) ) ) )
Proof of Theorem mndpsuppss
Dummy variables x v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioran 511 . . . . . 6 |- ( -. ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) <-> ( -. ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) /\ -. ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) )
2 nne 2798 . . . . . . 7 |- ( -. ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( A ` x ) = ( 0g ` M ) )
3 nne 2798 . . . . . . 7 |- ( -. ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( B ` x ) = ( 0g ` M ) )
42, 3anbi12i 733 . . . . . 6 |- ( ( -. ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) /\ -. ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) <-> ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) )
51, 4bitri 264 . . . . 5 |- ( -. ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) <-> ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) )
6 elmapfn 7880 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A Fn V )
76ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A Fn V )
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> A Fn V )
9 elmapfn 7880 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B Fn V )
109ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B Fn V )
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> B Fn V )
12 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. X )
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> V e. X )
14 inidm 3822 . . . . . . . . . 10 |- ( V i^i V ) = V
15 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) = ( 0g ` M ) )
16 simplrr 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) = ( 0g ` M ) )
178, 11, 13, 13, 14, 15, 16ofval 6906 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) = ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
1817an32s 846 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) = ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
19 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
20 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
2119, 20mndidcl 17308 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. ( Base ` M ) )
2221ancli 574 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. Mnd -> ( M e. Mnd /\ ( 0g ` M ) e. ( Base ` M ) ) )
2322ad4antr 768 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> ( M e. Mnd /\ ( 0g ` M ) e. ( Base ` M ) ) )
24 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
2519, 24, 20mndlid 17311 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Mnd /\ ( 0g ` M ) e. ( Base ` M ) ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = ( 0g ` M ) )
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = ( 0g ` M ) )
2718, 26eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) = ( 0g ` M ) )
28 nne 2798 . . . . . . 7 |- ( -. ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) = ( 0g ` M ) )
2927, 28sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) /\ ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) ) -> -. ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) )
3029ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) = ( 0g ` M ) /\ ( B ` x ) = ( 0g ` M ) ) -> -. ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) )
315, 30syl5bi 232 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( -. ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) -> -. ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) )
3231con4d 114 . . 3 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) -> ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) ) )
3332ss2rabdv 3683 . 2 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> { x e. V | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { x e. V | ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) } )
347, 10, 12, 12, 14offn 6908 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF ( +g ` M ) B ) Fn V )
35 fnfun 5988 . . . . 5 |- ( ( A oF ( +g ` M ) B ) Fn V -> Fun ( A oF ( +g ` M ) B ) )
3634, 35syl 17 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> Fun ( A oF ( +g ` M ) B ) )
37 ovex 6678 . . . . 5 |- ( A oF ( +g ` M ) B ) e. _V
3837a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF ( +g ` M ) B ) e. _V )
39 fvexd 6203 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
40 suppval1 7301 . . . 4 |- ( ( Fun ( A oF ( +g ` M ) B ) /\ ( A oF ( +g ` M ) B ) e. _V /\ ( 0g ` M ) e. _V ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom ( A oF ( +g ` M ) B ) | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
4136, 38, 39, 40syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom ( A oF ( +g ` M ) B ) | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
4212, 7, 10offvalfv 42121 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF ( +g ` M ) B ) = ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( +g ` M ) ( B ` v ) ) ) )
4342dmeqd 5326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> dom ( A oF ( +g ` M ) B ) = dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( +g ` M ) ( B ` v ) ) ) )
44 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( ( A ` v ) ( +g ` M ) ( B ` v ) ) e. _V
45 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( +g ` M ) ( B ` v ) ) ) = ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( +g ` M ) ( B ` v ) ) )
4644, 45dmmpti 6023 . . . . 5 |- dom ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( +g ` M ) ( B ` v ) ) ) = V
4743, 46syl6eq 2672 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> dom ( A oF ( +g ` M ) B ) = V )
48 rabeq 3192 . . . 4 |- ( dom ( A oF ( +g ` M ) B ) = V -> { x e. dom ( A oF ( +g ` M ) B ) | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
4947, 48syl 17 . . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> { x e. dom ( A oF ( +g ` M ) B ) | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
5041, 49eqtrd 2656 . 2 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) supp ( 0g ` M ) ) = { x e. V | ( ( A oF ( +g ` M ) B ) ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
51 elmapfun 7881 . . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> Fun A )
52 id 22 . . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( R ^m V ) )
53 fvexd 6203 . . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
54 suppval1 7301 . . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ A e. ( R ^m V ) /\ ( 0g ` M ) e. _V ) -> ( A supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( A supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
56 elmapi 7879 . . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
57 fdm 6051 . . . . . . 7 |- ( A : V --> R -> dom A = V )
58 rabeq 3192 . . . . . . 7 |- ( dom A = V -> { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
5956, 57, 583syl 18 . . . . . 6 |- ( A e. ( R ^m V ) -> { x e. dom A | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
6055, 59eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( A supp ( 0g ` M ) ) = { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
6160ad2antrl 764 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A supp ( 0g ` M ) ) = { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
62 elmapfun 7881 . . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> Fun B )
6362ad2antll 765 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> Fun B )
64 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B e. ( R ^m V ) )
65 suppval1 7301 . . . . . 6 |- ( ( Fun B /\ B e. ( R ^m V ) /\ ( 0g ` M ) e. _V ) -> ( B supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom B | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
6663, 64, 39, 65syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B supp ( 0g ` M ) ) = { x e. dom B | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
67 elmapi 7879 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
68 fdm 6051 . . . . . . . 8 |- ( B : V --> R -> dom B = V )
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> dom B = V )
7069ad2antll 765 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> dom B = V )
71 rabeq 3192 . . . . . 6 |- ( dom B = V -> { x e. dom B | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
7270, 71syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> { x e. dom B | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } = { x e. V | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
7366, 72eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B supp ( 0g ` M ) ) = { x e. V | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } )
7461, 73uneq12d 3768 . . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A supp ( 0g ` M ) ) u. ( B supp ( 0g ` M ) ) ) = ( { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } u. { x e. V | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } ) )
75 unrab 3898 . . 3 |- ( { x e. V | ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) } u. { x e. V | ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) } ) = { x e. V | ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) }
7674, 75syl6eq 2672 . 2 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A supp ( 0g ` M ) ) u. ( B supp ( 0g ` M ) ) ) = { x e. V | ( ( A ` x ) =/= ( 0g ` M ) \/ ( B ` x ) =/= ( 0g ` M ) ) } )
7733, 50, 763sstr4d 3648 1 |- ( ( ( M e. Mnd /\ V e. X ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A oF ( +g ` M ) B ) supp ( 0g ` M ) ) C_ ( ( A supp ( 0g ` M ) ) u. ( B supp ( 0g ` M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-map 7859  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295
This theorem is referenced by:  mndpsuppfi  42156
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