Theorem shsidmi 28243

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	|- A e. SH

Assertion

Ref	Expression
shsidmi	|- ( A +H A ) = A

Proof of Theorem shsidmi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 |- A e. SH
2	1, 1	shseli 28175	. . . 4 |- ( x e. ( A +H A ) <-> E. y e. A E. z e. A x = ( y +h z ) )
3		shaddcl 28074	. . . . . . 7 |- ( ( A e. SH /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( y +h z ) e. A )
4	1, 3	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y +h z ) e. A )
5		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = ( y +h z ) -> ( x e. A <-> ( y +h z ) e. A ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. A ) )
7	6	rexlimivv 3036	. . . 4 |- ( E. y e. A E. z e. A x = ( y +h z ) -> x e. A )
8	2, 7	sylbi 207	. . 3 |- ( x e. ( A +H A ) -> x e. A )
9	8	ssriv 3607	. 2 |- ( A +H A ) C_ A
10	1, 1	shsub1i 28231	. 2 |- A C_ ( A +H A )
11	9, 10	eqssi 3619	1 |- ( A +H A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913  (class class class)co 6650   +h cva 27777   SHcsh 27785   +H cph 27788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  shslubi  28244