Theorem sltletrd 31885

Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	|- ( ph -> A e. No )
slttrd.2	|- ( ph -> B e. No )
slttrd.3	|- ( ph -> C e. No )
sltletrd.4	|- ( ph -> A <s B )
sltletrd.5	|- ( ph -> B ≤s C )

Assertion

Ref	Expression
sltletrd	|- ( ph -> A <s C )

Proof of Theorem sltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A <s B )
2		sltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B ≤s C )
3		slttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. No )
4		slttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. No )
5		slttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. No )
6		sltletr 31881	. . 3 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ C e. No ) -> ( ( A <s B /\ B ≤s C ) -> A <s C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( A <s B /\ B ≤s C ) -> A <s C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 715	1 |- ( ph -> A <s C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   Nocsur 31793   <scslt 31794   ≤scsle 31869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-sle 31870

This theorem is referenced by:  slerec  31923