Theorem slerec 31923

Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. In Conway's treatment, this is the definition of less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
slerec	|- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( X = ( A |s B ) /\ Y = ( C |s D ) ) ) -> ( X ≤s Y <-> ( A. d e. D X <s d /\ A. a e. A a <s Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, d   B, a, d   C, a, d   D, a, d   X, a, d   Y, a, d

Proof of Theorem slerec

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scutcut 31912	. . . . . . . . 9 |- ( A < <s B -> ( ( A |s B ) e. No /\ A < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s B ) )
2	1	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( A < <s B -> ( A |s B ) e. No )
3	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ d e. D ) -> ( A |s B ) e. No )
4		scutcut 31912	. . . . . . . . 9 |- ( C < <s D -> ( ( C |s D ) e. No /\ C < <s { ( C |s D ) } /\ { ( C |s D ) } < <s D ) )
5	4	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( C < <s D -> ( C |s D ) e. No )
6	5	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ d e. D ) -> ( C |s D ) e. No )
7		ssltss2 31904	. . . . . . . . 9 |- ( C < <s D -> D C_ No )
8	7	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> D C_ No )
9	8	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ d e. D ) -> d e. No )
10		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ d e. D ) -> ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) )
11	4	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( C < <s D -> { ( C |s D ) } < <s D )
12	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> { ( C |s D ) } < <s D )
13		ssltsep 31905	. . . . . . . . . 10 |- ( { ( C |s D ) } < <s D -> A. a e. { ( C |s D ) } A. d e. D a <s d )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A. a e. { ( C |s D ) } A. d e. D a <s d )
15		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( C |s D ) e. _V
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( C |s D ) -> ( a <s d <-> ( C |s D ) <s d ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( C |s D ) -> ( A. d e. D a <s d <-> A. d e. D ( C |s D ) <s d ) )
18	15, 17	ralsn 4222	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. { ( C |s D ) } A. d e. D a <s d <-> A. d e. D ( C |s D ) <s d )
19	14, 18	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A. d e. D ( C |s D ) <s d )
20	19	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ d e. D ) -> ( C |s D ) <s d )
21	3, 6, 9, 10, 20	slelttrd 31886	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ d e. D ) -> ( A |s B ) <s d )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A. d e. D ( A |s B ) <s d )
23		ssltss1 31903	. . . . . . . . . 10 |- ( A < <s B -> A C_ No )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A < <s B /\ C < <s D ) -> A C_ No )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A C_ No )
26	25	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> a e. No )
27	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> ( A |s B ) e. No )
28	5	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> ( C |s D ) e. No )
29	1	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A < <s B -> A < <s { ( A |s B ) } )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A < <s B /\ C < <s D ) -> A < <s { ( A |s B ) } )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A < <s { ( A |s B ) } )
32		ssltsep 31905	. . . . . . . . . 10 |- ( A < <s { ( A |s B ) } -> A. a e. A A. d e. { ( A |s B ) } a <s d )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A. a e. A A. d e. { ( A |s B ) } a <s d )
34	33	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> A. d e. { ( A |s B ) } a <s d )
35		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( A |s B ) e. _V
36		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( A |s B ) -> ( a <s d <-> a <s ( A |s B ) ) )
37	35, 36	ralsn 4222	. . . . . . . 8 |- ( A. d e. { ( A |s B ) } a <s d <-> a <s ( A |s B ) )
38	34, 37	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> a <s ( A |s B ) )
39		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) )
40	26, 27, 28, 38, 39	sltletrd 31885	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) /\ a e. A ) -> a <s ( C |s D ) )
41	40	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> A. a e. A a <s ( C |s D ) )
42	22, 41	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) -> ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) )
43		bdayelon 31892	. . . . . . 7 |- ( bday ` ( A |s B ) ) e. On
44	43	onordi 5832	. . . . . 6 |- Ord ( bday ` ( A |s B ) )
45		ordn2lp 5743	. . . . . 6 |- ( Ord ( bday ` ( A |s B ) ) -> -. ( ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) /\ ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) ) )
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. ( ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) /\ ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) )
47	5	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( C |s D ) e. No )
48	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ C < <s D ) -> ( A |s B ) e. No )
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( A |s B ) e. No )
50		sltnle 31878	. . . . . . 7 |- ( ( ( C |s D ) e. No /\ ( A |s B ) e. No ) -> ( ( C |s D ) <s ( A |s B ) <-> -. ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) )
51	47, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( ( C |s D ) <s ( A |s B ) <-> -. ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) )
52	5	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( C |s D ) e. No )
53		ssltex1 31901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A < <s B -> A e. _V )
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A e. _V )
55		snex 4908	. . . . . . . . . . 11 |- { ( C |s D ) } e. _V
56	54, 55	jctir 561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( A e. _V /\ { ( C |s D ) } e. _V ) )
57	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A C_ No )
58	52	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> { ( C |s D ) } C_ No )
59		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. a e. A a <s ( C |s D ) )
60		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( C |s D ) -> ( a <s d <-> a <s ( C |s D ) ) )
61	15, 60	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. d e. { ( C |s D ) } a <s d <-> a <s ( C |s D ) )
62	61	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. a e. A A. d e. { ( C |s D ) } a <s d <-> A. a e. A a <s ( C |s D ) )
63	59, 62	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. a e. A A. d e. { ( C |s D ) } a <s d )
64	57, 58, 63	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( A C_ No /\ { ( C |s D ) } C_ No /\ A. a e. A A. d e. { ( C |s D ) } a <s d ) )
65		brsslt 31900	. . . . . . . . . 10 |- ( A < <s { ( C |s D ) } <-> ( ( A e. _V /\ { ( C |s D ) } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { ( C |s D ) } C_ No /\ A. a e. A A. d e. { ( C |s D ) } a <s d ) ) )
66	56, 64, 65	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A < <s { ( C |s D ) } )
67		ssltex2 31902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A < <s B -> B e. _V )
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> B e. _V )
69	68, 55	jctil 560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( { ( C |s D ) } e. _V /\ B e. _V ) )
70		ssltss2 31904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A < <s B -> B C_ No )
71	70	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> B C_ No )
72	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ b e. B ) -> ( C |s D ) e. No )
73	48	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ b e. B ) -> ( A |s B ) e. No )
74	71	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ b e. B ) -> b e. No )
75		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ b e. B ) -> ( C |s D ) <s ( A |s B ) )
76	1	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A < <s B -> { ( A |s B ) } < <s B )
77	76	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> { ( A |s B ) } < <s B )
78		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { ( A |s B ) } < <s B -> A. a e. { ( A |s B ) } A. b e. B a <s b )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. a e. { ( A |s B ) } A. b e. B a <s b )
80		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( A |s B ) -> ( a <s b <-> ( A |s B ) <s b ) )
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( A |s B ) -> ( A. b e. B a <s b <-> A. b e. B ( A |s B ) <s b ) )
82	35, 81	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. a e. { ( A |s B ) } A. b e. B a <s b <-> A. b e. B ( A |s B ) <s b )
83	79, 82	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. b e. B ( A |s B ) <s b )
84	83	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ b e. B ) -> ( A |s B ) <s b )
85	72, 73, 74, 75, 84	slttrd 31884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ b e. B ) -> ( C |s D ) <s b )
86	85	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. b e. B ( C |s D ) <s b )
87		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( C |s D ) -> ( a <s b <-> ( C |s D ) <s b ) )
88	87	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( C |s D ) -> ( A. b e. B a <s b <-> A. b e. B ( C |s D ) <s b ) )
89	15, 88	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. a e. { ( C |s D ) } A. b e. B a <s b <-> A. b e. B ( C |s D ) <s b )
90	86, 89	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. a e. { ( C |s D ) } A. b e. B a <s b )
91	58, 71, 90	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( { ( C |s D ) } C_ No /\ B C_ No /\ A. a e. { ( C |s D ) } A. b e. B a <s b ) )
92		brsslt 31900	. . . . . . . . . 10 |- ( { ( C |s D ) } < <s B <-> ( ( { ( C |s D ) } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { ( C |s D ) } C_ No /\ B C_ No /\ A. a e. { ( C |s D ) } A. b e. B a <s b ) ) )
93	69, 91, 92	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> { ( C |s D ) } < <s B )
94		sltirr 31871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A |s B ) e. No -> -. ( A |s B ) <s ( A |s B ) )
95	49, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> -. ( A |s B ) <s ( A |s B ) )
96		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A |s B ) = ( C |s D ) -> ( ( A |s B ) <s ( A |s B ) <-> ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) )
97	96	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A |s B ) = ( C |s D ) -> ( -. ( A |s B ) <s ( A |s B ) <-> -. ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) )
98	95, 97	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( ( A |s B ) = ( C |s D ) -> -. ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) )
99	98	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( ( C |s D ) <s ( A |s B ) -> ( A |s B ) =/= ( C |s D ) ) )
100	99	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( A |s B ) =/= ( C |s D ) )
101	100	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( C |s D ) =/= ( A |s B ) )
102		scutbdaylt 31922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C |s D ) e. No /\ ( A < <s { ( C |s D ) } /\ { ( C |s D ) } < <s B ) /\ ( C |s D ) =/= ( A |s B ) ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) )
103	52, 66, 93, 101, 102	syl121anc 1331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) )
104	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( A |s B ) e. No )
105		ssltex1 31901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C < <s D -> C e. _V )
106	105	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> C e. _V )
107		snex 4908	. . . . . . . . . . 11 |- { ( A |s B ) } e. _V
108	106, 107	jctir 561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( C e. _V /\ { ( A |s B ) } e. _V ) )
109		ssltss1 31903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C < <s D -> C C_ No )
110	109	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> C C_ No )
111	104	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> { ( A |s B ) } C_ No )
112	110	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> c e. No )
113	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> ( C |s D ) e. No )
114	48	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> ( A |s B ) e. No )
115	4	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C < <s D -> C < <s { ( C |s D ) } )
116	115	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> C < <s { ( C |s D ) } )
117		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C < <s { ( C |s D ) } -> A. c e. C A. d e. { ( C |s D ) } c <s d )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. c e. C A. d e. { ( C |s D ) } c <s d )
119	118	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> A. d e. { ( C |s D ) } c <s d )
120		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( C |s D ) -> ( c <s d <-> c <s ( C |s D ) ) )
121	15, 120	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. d e. { ( C |s D ) } c <s d <-> c <s ( C |s D ) )
122	119, 121	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> c <s ( C |s D ) )
123		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> ( C |s D ) <s ( A |s B ) )
124	112, 113, 114, 122, 123	slttrd 31884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> c <s ( A |s B ) )
125		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( A |s B ) -> ( c <s a <-> c <s ( A |s B ) ) )
126	35, 125	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. a e. { ( A |s B ) } c <s a <-> c <s ( A |s B ) )
127	124, 126	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) /\ c e. C ) -> A. a e. { ( A |s B ) } c <s a )
128	127	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. c e. C A. a e. { ( A |s B ) } c <s a )
129	110, 111, 128	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( C C_ No /\ { ( A |s B ) } C_ No /\ A. c e. C A. a e. { ( A |s B ) } c <s a ) )
130		brsslt 31900	. . . . . . . . . 10 |- ( C < <s { ( A |s B ) } <-> ( ( C e. _V /\ { ( A |s B ) } e. _V ) /\ ( C C_ No /\ { ( A |s B ) } C_ No /\ A. c e. C A. a e. { ( A |s B ) } c <s a ) ) )
131	108, 129, 130	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> C < <s { ( A |s B ) } )
132		ssltex2 31902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C < <s D -> D e. _V )
133	132	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> D e. _V )
134	133, 107	jctil 560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( { ( A |s B ) } e. _V /\ D e. _V ) )
135	7	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> D C_ No )
136		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. d e. D ( A |s B ) <s d )
137		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( A |s B ) -> ( a <s d <-> ( A |s B ) <s d ) )
138	137	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( A |s B ) -> ( A. d e. D a <s d <-> A. d e. D ( A |s B ) <s d ) )
139	35, 138	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. a e. { ( A |s B ) } A. d e. D a <s d <-> A. d e. D ( A |s B ) <s d )
140	136, 139	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> A. a e. { ( A |s B ) } A. d e. D a <s d )
141	111, 135, 140	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( { ( A |s B ) } C_ No /\ D C_ No /\ A. a e. { ( A |s B ) } A. d e. D a <s d ) )
142		brsslt 31900	. . . . . . . . . 10 |- ( { ( A |s B ) } < <s D <-> ( ( { ( A |s B ) } e. _V /\ D e. _V ) /\ ( { ( A |s B ) } C_ No /\ D C_ No /\ A. a e. { ( A |s B ) } A. d e. D a <s d ) ) )
143	134, 141, 142	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> { ( A |s B ) } < <s D )
144		scutbdaylt 31922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A |s B ) e. No /\ ( C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ ( A |s B ) =/= ( C |s D ) ) -> ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) )
145	104, 131, 143, 100, 144	syl121anc 1331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) )
146	103, 145	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) /\ ( C |s D ) <s ( A |s B ) ) -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) /\ ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) ) )
147	146	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( ( C |s D ) <s ( A |s B ) -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) /\ ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) ) ) )
148	51, 147	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( -. ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday ` ( C |s D ) ) /\ ( bday ` ( C |s D ) ) e. ( bday ` ( A |s B ) ) ) ) )
149	46, 148	mt3i 141	. . . 4 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) -> ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) )
150	42, 149	impbida 877	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ C < <s D ) -> ( ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) <-> ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) )
151		breq12 4658	. . . 4 |- ( ( X = ( A |s B ) /\ Y = ( C |s D ) ) -> ( X ≤s Y <-> ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) ) )
152		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( X = ( A |s B ) -> ( X <s d <-> ( A |s B ) <s d ) )
153	152	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( X = ( A |s B ) -> ( A. d e. D X <s d <-> A. d e. D ( A |s B ) <s d ) )
154		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( Y = ( C |s D ) -> ( a <s Y <-> a <s ( C |s D ) ) )
155	154	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( Y = ( C |s D ) -> ( A. a e. A a <s Y <-> A. a e. A a <s ( C |s D ) ) )
156	153, 155	bi2anan9 917	. . . 4 |- ( ( X = ( A |s B ) /\ Y = ( C |s D ) ) -> ( ( A. d e. D X <s d /\ A. a e. A a <s Y ) <-> ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) )
157	151, 156	bibi12d 335	. . 3 |- ( ( X = ( A |s B ) /\ Y = ( C |s D ) ) -> ( ( X ≤s Y <-> ( A. d e. D X <s d /\ A. a e. A a <s Y ) ) <-> ( ( A |s B ) ≤s ( C |s D ) <-> ( A. d e. D ( A |s B ) <s d /\ A. a e. A a <s ( C |s D ) ) ) ) )
158	150, 157	syl5ibr 236	. 2 |- ( ( X = ( A |s B ) /\ Y = ( C |s D ) ) -> ( ( A < <s B /\ C < <s D ) -> ( X ≤s Y <-> ( A. d e. D X <s d /\ A. a e. A a <s Y ) ) ) )
159	158	impcom 446	1 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s D ) /\ ( X = ( A |s B ) /\ Y = ( C |s D ) ) ) -> ( X ≤s Y <-> ( A. d e. D X <s d /\ A. a e. A a <s Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   Ord word 5722   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795   ≤scsle 31869   < <scsslt 31896   |scscut 31898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798  df-sle 31870  df-sslt 31897  df-scut 31899

This theorem is referenced by:  sltrec  31924