Theorem smores 7449

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smores	|- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Proof of Theorem smores

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5929	. . . . . . . 8 |- ( Fun A -> Fun ( A |` B ) )
2		funfn 5918	. . . . . . . 8 |- ( Fun A <-> A Fn dom A )
3		funfn 5918	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( A |` B ) <-> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
4	1, 2, 3	3imtr3i 280	. . . . . . 7 |- ( A Fn dom A -> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
5		resss 5422	. . . . . . . . 9 |- ( A |` B ) C_ A
6		rnss 5354	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> ran ( A |` B ) C_ ran A )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ran ( A |` B ) C_ ran A
8		sstr 3611	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( A |` B ) C_ ran A /\ ran A C_ On ) -> ran ( A |` B ) C_ On )
9	7, 8	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( ran A C_ On -> ran ( A |` B ) C_ On )
10	4, 9	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) -> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
11		df-f 5892	. . . . . 6 |- ( A : dom A --> On <-> ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) )
12		df-f 5892	. . . . . 6 |- ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On <-> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
13	10, 11, 12	3imtr4i 281	. . . . 5 |- ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On )
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On ) )
15		ordelord 5745	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom A /\ B e. dom A ) -> Ord B )
16	15	expcom 451	. . . . . 6 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord B ) )
17		ordin 5753	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ Ord dom A ) -> Ord ( B i^i dom A ) )
18	17	ex 450	. . . . . 6 |- ( Ord B -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
19	16, 18	syli 39	. . . . 5 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
20		dmres 5419	. . . . . 6 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )
21		ordeq 5730	. . . . . 6 |- ( dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A ) -> ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) )
23	19, 22	syl6ibr 242	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord dom ( A |` B ) ) )
24		dmss 5323	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> dom ( A |` B ) C_ dom A )
25	5, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( A |` B ) C_ dom A
26		ssralv 3666	. . . . . . . 8 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
28		ssralv 3666	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
29	25, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
30	29	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
32		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i dom A ) C_ B
33	20, 32	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( A |` B ) C_ B
34		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. dom ( A |` B ) )
35	33, 34	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. B )
36		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. dom ( A |` B ) )
39	33, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. B )
40		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
42	37, 41	eleq12d 2695	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) <-> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
43	42	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
44	43	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( A |` B ) -> ( A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
45	44	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
46	31, 45	sylibr 224	. . . . 5 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) )
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
48	14, 23, 47	3anim123d 1406	. . 3 |- ( B e. dom A -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) -> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) ) )
49		df-smo 7443	. . 3 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
50		df-smo 7443	. . 3 |- ( Smo ( A |` B ) <-> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
51	48, 49, 50	3imtr4g 285	. 2 |- ( B e. dom A -> ( Smo A -> Smo ( A |` B ) ) )
52	51	impcom 446	1 |- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ord 5726  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by:  smores3  7450  alephsing  9098