Theorem sprsymrelf 41745

Description: The mapping F is a function from the subsets of the set of pairs over a fixed set V into the symmetric relations R on the fixed set V. (Contributed by AV, 19-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	|- P = ~P (Pairs ` V )
sprsymrelf.r	|- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
sprsymrelf.f	|- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelf	|- F : P --> R

Distinct variable groups:   P, p   V, c, x, y   p, c, x, y, r   R, p   V, r, c, x, y

Allowed substitution hints:   P( x, y, r, c)   R( x, y, r, c)   F( x, y, r, p, c)   V( p)

Proof of Theorem sprsymrelf

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.f	. 2 |- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )
2		sprsymrelfvlem 41740	. . . . 5 |- ( p C_ (Pairs ` V ) -> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } e. ~P ( V X. V ) )
3		prcom 4267	. . . . . . . . . 10 |- { x , y } = { y , x }
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p C_ (Pairs ` V ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ c e. p ) -> { x , y } = { y , x } )
5	4	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p C_ (Pairs ` V ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ c e. p ) -> ( c = { x , y } <-> c = { y , x } ) )
6	5	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( p C_ (Pairs ` V ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. c e. p c = { x , y } <-> E. c e. p c = { y , x } ) )
7		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )
8		opabid 4982	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } <-> E. c e. p c = { x , y } )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> E. c e. p c = { x , y } )
10		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
11		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
12		preq12 4270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> { a , b } = { y , x } )
13	12	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( c = { a , b } <-> c = { y , x } ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( E. c e. p c = { a , b } <-> E. c e. p c = { y , x } ) )
15		preq12 4270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> { x , y } = { a , b } )
16	15	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( c = { x , y } <-> c = { a , b } ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( E. c e. p c = { x , y } <-> E. c e. p c = { a , b } ) )
18	17	cbvopabv 4722	. . . . . . . 8 |- { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } = { <. a , b >. | E. c e. p c = { a , b } }
19	10, 11, 14, 18	braba 4992	. . . . . . 7 |- ( y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x <-> E. c e. p c = { y , x } )
20	6, 9, 19	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( p C_ (Pairs ` V ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) )
21	20	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( p C_ (Pairs ` V ) -> A. x e. V A. y e. V ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) )
22	2, 21	jca 554	. . . 4 |- ( p C_ (Pairs ` V ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) ) )
23		sprsymrelf.p	. . . . . 6 |- P = ~P (Pairs ` V )
24	23	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( p e. P <-> p e. ~P (Pairs ` V ) )
25		vex 3203	. . . . . 6 |- p e. _V
26	25	elpw 4164	. . . . 5 |- ( p e. ~P (Pairs ` V ) <-> p C_ (Pairs ` V ) )
27	24, 26	bitri 264	. . . 4 |- ( p e. P <-> p C_ (Pairs ` V ) )
28		nfopab1 4719	. . . . . . 7 |- F/_ x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } }
29	28	nfeq2 2780	. . . . . 6 |- F/ x r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } }
30		nfopab2 4720	. . . . . . . 8 |- F/_ y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } }
31	30	nfeq2 2780	. . . . . . 7 |- F/ y r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } }
32		breq 4655	. . . . . . . 8 |- ( r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } -> ( x r y <-> x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y ) )
33		breq 4655	. . . . . . . 8 |- ( r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } -> ( y r x <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) )
34	32, 33	bibi12d 335	. . . . . . 7 |- ( r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } -> ( ( x r y <-> y r x ) <-> ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) ) )
35	31, 34	ralbid 2983	. . . . . 6 |- ( r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } -> ( A. y e. V ( x r y <-> y r x ) <-> A. y e. V ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) ) )
36	29, 35	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( r = { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } -> ( A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) <-> A. x e. V A. y e. V ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) ) )
37	36	elrab 3363	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } e. { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) } <-> ( { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } y <-> y { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } x ) ) )
38	22, 27, 37	3imtr4i 281	. . 3 |- ( p e. P -> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } e. { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) } )
39		sprsymrelf.r	. . 3 |- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
40	38, 39	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( p e. P -> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } e. R )
41	1, 40	fmpti 6383	1 |- F : P --> R

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  sprsymrelf1  41746  sprsymrelfo  41747