Theorem sprsymrelf1 41746

Description: The mapping F is a one-to-one function from the subsets of the set of pairs over a fixed set V into the symmetric relations R on the fixed set V. (Contributed by AV, 19-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	|- P = ~P (Pairs ` V )
sprsymrelf.r	|- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
sprsymrelf.f	|- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelf1	|- F : P -1-1-> R

Distinct variable groups:   P, p   V, c, x, y   p, c, x, y, r   R, p   V, r, c, x, y

Allowed substitution hints:   P( x, y, r, c)   R( x, y, r, c)   F( x, y, r, p, c)   V( p)

Proof of Theorem sprsymrelf1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . 3 |- P = ~P (Pairs ` V )
2		sprsymrelf.r	. . 3 |- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
3		sprsymrelf.f	. . 3 |- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )
4	1, 2, 3	sprsymrelf 41745	. 2 |- F : P --> R
5	1, 2, 3	sprsymrelfv 41744	. . . . 5 |- ( a e. P -> ( F ` a ) = { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } )
6	1, 2, 3	sprsymrelfv 41744	. . . . 5 |- ( b e. P -> ( F ` b ) = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } )
7	5, 6	eqeqan12d 2638	. . . 4 |- ( ( a e. P /\ b e. P ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) )
8	1	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( a e. P <-> a e. ~P (Pairs ` V ) )
9		vex 3203	. . . . . . 7 |- a e. _V
10	9	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( a e. ~P (Pairs ` V ) <-> a C_ (Pairs ` V ) )
11	8, 10	bitri 264	. . . . 5 |- ( a e. P <-> a C_ (Pairs ` V ) )
12	1	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( b e. P <-> b e. ~P (Pairs ` V ) )
13		vex 3203	. . . . . . 7 |- b e. _V
14	13	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( b e. ~P (Pairs ` V ) <-> b C_ (Pairs ` V ) )
15	12, 14	bitri 264	. . . . 5 |- ( b e. P <-> b C_ (Pairs ` V ) )
16		sprsymrelf1lem 41741	. . . . . . . 8 |- ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> a C_ b ) )
17	16	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) -> a C_ b )
18		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } <-> { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } )
19		sprsymrelf1lem 41741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b C_ (Pairs ` V ) /\ a C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } -> b C_ a ) )
20	18, 19	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ (Pairs ` V ) /\ a C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> b C_ a ) )
21	20	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> b C_ a ) )
22	21	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) -> b C_ a )
23	17, 22	eqssd 3620	. . . . . 6 |- ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) -> a = b )
24	23	ex 450	. . . . 5 |- ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> a = b ) )
25	11, 15, 24	syl2anb 496	. . . 4 |- ( ( a e. P /\ b e. P ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> a = b ) )
26	7, 25	sylbid 230	. . 3 |- ( ( a e. P /\ b e. P ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
27	26	rgen2a 2977	. 2 |- A. a e. P A. b e. P ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b )
28		dff13 6512	. 2 |- ( F : P -1-1-> R <-> ( F : P --> R /\ A. a e. P A. b e. P ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) ) )
29	4, 27, 28	mpbir2an 955	1 |- F : P -1-1-> R

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  sprsymrelf1o  41748