Theorem tfisi 7058

Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfisi.a	|- ( ph -> A e. V )
tfisi.b	|- ( ph -> T e. On )
tfisi.c	|- ( ( ph /\ ( R e. On /\ R C_ T ) /\ A. y ( S e. R -> ch ) ) -> ps )
tfisi.d	|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
tfisi.e	|- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
tfisi.f	|- ( x = y -> R = S )
tfisi.g	|- ( x = A -> R = T )

Assertion

Ref	Expression
tfisi	|- ( ph -> th )

Distinct variable groups:   x, y, T   y, R   x, S   ch, x   ph, x, y   ps, y   x, A   th, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   th( y)   A( y)   R( x)   S( y)   V( x, y)

Proof of Theorem tfisi

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- T C_ T
2		eqid 2622	. . . . 5 |- T = T
3		tfisi.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
4		tfisi.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. On )
5		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( R = z <-> R = w ) )
6		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( z C_ T <-> w C_ T ) )
7	6	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ph /\ z C_ T ) <-> ( ph /\ w C_ T ) ) )
8	7	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) )
9	5, 8	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) ) )
10	9	albidv 1849	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. x ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) ) )
11		tfisi.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> R = S )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( R = w <-> S = w ) )
13		tfisi.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
14	13	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
15	12, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) <-> ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) )
16	15	cbvalv 2273	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) <-> A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
17	10, 16	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) )
18		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( R = z <-> R = T ) )
19		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = T -> ( z C_ T <-> T C_ T ) )
20	19	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = T -> ( ( ph /\ z C_ T ) <-> ( ph /\ T C_ T ) ) )
21	20	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
22	18, 21	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( z = T -> ( ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) ) )
23	22	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( z = T -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) ) )
24		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ph )
25		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R = z )
26		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> z e. On )
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R e. On )
28		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> z C_ T )
29	25, 28	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R C_ T )
30		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> ph )
31		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> z e. On )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R e. R )
33		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> R = z )
34	32, 33	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R e. z )
35		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> ( [_ v / x ]_ R e. z -> [_ v / x ]_ R C_ z ) )
36	31, 34, 35	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R C_ z )
37		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> z C_ T )
38	36, 37	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R C_ T )
39		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
40		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( S = w <-> S = [_ v / x ]_ R ) )
41		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( w C_ T <-> [_ v / x ]_ R C_ T ) )
42	41	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ w C_ T ) <-> ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) ) )
43	42	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) <-> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
44	40, 43	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) <-> ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) ) )
45	44	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) <-> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) ) )
46	45	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [_ v / x ]_ R e. z /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
47	34, 39, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
48		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R )
49		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ x y
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ x S
51	49, 50, 11	csbhypf 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = y -> [_ v / x ]_ R = S )
52	51	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = y -> S = [_ v / x ]_ R )
53	52	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> S = [_ v / x ]_ R )
54	53	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( S = [_ v / x ]_ R <-> [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R ) )
55		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x ch
56	55, 13	sbhypf 3253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = y -> ( [ v / x ] ps <-> ch ) )
57	56	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = y -> ( ch <-> [ v / x ] ps ) )
58	57	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> ( ch <-> [ v / x ] ps ) )
59	58	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) <-> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) )
60	54, 59	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = v -> ( ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) <-> ( [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) ) )
61	60	spv 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) -> ( [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) )
62	47, 48, 61	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) )
63	30, 38, 62	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [ v / x ] ps )
64	63	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) )
65	64	alrimiv 1855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> A. v ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) )
66	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( [_ v / x ]_ R e. R <-> S e. R ) )
67	66, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) <-> ( S e. R -> ch ) ) )
68	67	cbvalv 2273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) <-> A. y ( S e. R -> ch ) )
69	65, 68	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> A. y ( S e. R -> ch ) )
70		tfisi.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. On /\ R C_ T ) /\ A. y ( S e. R -> ch ) ) -> ps )
71	24, 27, 29, 69, 70	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ps )
72	71	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) )
73	72	alrimiv 1855	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) )
74	73	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) -> A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) ) )
75	17, 23, 74	tfis3 7057	. . . . . . 7 |- ( T e. On -> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
76	4, 75	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
77		tfisi.g	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> R = T )
78	77	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( R = T <-> T = T ) )
79		tfisi.e	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
80	79	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) )
81	78, 80	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) <-> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) ) )
82	81	spcgv 3293	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) -> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) ) )
83	3, 76, 82	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) )
84	2, 83	mpi 20	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) )
85	84	expd 452	. . 3 |- ( ph -> ( ph -> ( T C_ T -> th ) ) )
86	85	pm2.43i 52	. 2 |- ( ph -> ( T C_ T -> th ) )
87	1, 86	mpi 20	1 |- ( ph -> th )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   [wsb 1880   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   C_ wss 3574   Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  indcardi  8864