Theorem tgcn 21056

Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		iscn 21039	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
6		topontop 20718	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
8	5, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
9		tgclb 20774	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
11		bastg 20770	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	12, 5	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
14		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
16	5	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. K <-> x e. ( topGen ` B ) ) )
17		eltg3 20766	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. TopBases -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
19	16, 18	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. K <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
20		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
21		topontop 20718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
23		iunopn 20703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
24	23	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
26	20, 25	sylan9r 690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
27		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = ( `' F " U. z ) )
28		imauni 6504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F " U. z ) = U_ y e. z ( `' F " y )
29	27, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = U_ y e. z ( `' F " y ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. z -> ( ( `' F " x ) e. J <-> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. z -> ( ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) <-> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) )
32	26, 31	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( x = U. z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
33	32	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
34	33	exlimdv 1861	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
35	19, 34	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. K -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
36	35	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) )
37	36	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
38		imaeq2 5462	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( `' F " x ) = ( `' F " y ) )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
40	39	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
41	37, 40	syl6ib 241	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
42	15, 41	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
43	42	anbi2d 740	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
44	4, 43	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopBasesctb 20749   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  subbascn  21058  txcnmpt  21427  ismtyhmeolem  33603