Theorem bastg 20770

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	|- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem bastg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
2		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	pwid 4174	. . . . . . 7 |- x e. ~P x
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ~P x )
5	1, 4	elind 3798	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x e. ( B i^i ~P x ) )
6		elssuni 4467	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x e. B ) -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) )
8	7	ex 450	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		eltg 20761	. . 3 |- ( B e. V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
10	8, 9	sylibrd 249	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
11	10	ssrdv 3609	1 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888   topGenctg 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104

This theorem is referenced by:  unitg  20771  tgclb  20774  tgtop  20777  tgidm  20784  tgss3  20790  bastop2  20798  elcls3  20887  ordtopn1  20998  ordtopn2  20999  leordtval2  21016  iocpnfordt  21019  icomnfordt  21020  iooordt  21021  tgcn  21056  tgcnp  21057  tgcmp  21204  2ndcsb  21252  2ndc1stc  21254  2ndcctbss  21258  2ndcomap  21261  ptopn  21386  xkoopn  21392  txopn  21405  txbasval  21409  ptpjcn  21414  flftg  21800  alexsubb  21850  blssopn  22300  iooretop  22569  bndth  22757  ovolicc2  23290  cncombf  23425  cnmbf  23426  ordtconnlem1  29970  elmbfmvol2  30329  dya2icoseg2  30340  iccllysconn  31232  rellysconn  31233  topjoin  32360  fnemeet2  32362  fnejoin1  32363  ontgval  32430  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  cnambfre  33458  kelac2  37635