Theorem tglngval 25446

Description: The line going through points X and Y. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	|- P = ( Base ` G )
tglngval.l	|- L = (LineG ` G )
tglngval.i	|- I = (Itv ` G )
tglngval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tglngval.x	|- ( ph -> X e. P )
tglngval.y	|- ( ph -> Y e. P )
tglngval.z	|- ( ph -> X =/= Y )

Assertion

Ref	Expression
tglngval	|- ( ph -> ( X L Y ) = { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } )

Distinct variable groups:   z, G   z, I   z, P   z, X   z, Y   ph, z

Allowed substitution hint:   L( z)

Proof of Theorem tglngval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. TarskiG )
2		tglngval.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
3		tglngval.l	. . . . 5 |- L = (LineG ` G )
4		tglngval.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
5	2, 3, 4	tglng 25441	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
6	1, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
7	6	oveqd 6667	. 2 |- ( ph -> ( X L Y ) = ( X ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Y ) )
8		tglngval.x	. . 3 |- ( ph -> X e. P )
9		tglngval.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. P )
10		tglngval.z	. . . . 5 |- ( ph -> X =/= Y )
11	10	necomd 2849	. . . 4 |- ( ph -> Y =/= X )
12		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( Y e. ( P \ { X } ) <-> ( Y e. P /\ Y =/= X ) )
13	9, 11, 12	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( P \ { X } ) )
14		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
15	2, 14	eqeltri 2697	. . . . 5 |- P e. _V
16	15	rabex 4813	. . . 4 |- { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } e. _V
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } e. _V )
18		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x I y ) = ( X I Y ) )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( z e. ( x I y ) <-> z e. ( X I Y ) ) )
20		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
21		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( z I y ) = ( z I Y ) )
23	20, 22	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x e. ( z I y ) <-> X e. ( z I Y ) ) )
24	20	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x I z ) = ( X I z ) )
25	21, 24	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( y e. ( x I z ) <-> Y e. ( X I z ) ) )
26	19, 23, 25	3orbi123d 1398	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) ) )
27	26	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } = { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } )
28		sneq 4187	. . . . 5 |- ( x = X -> { x } = { X } )
29	28	difeq2d 3728	. . . 4 |- ( x = X -> ( P \ { x } ) = ( P \ { X } ) )
30		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } )
31	27, 29, 30	ovmpt2x 6789	. . 3 |- ( ( X e. P /\ Y e. ( P \ { X } ) /\ { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } e. _V ) -> ( X ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Y ) = { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } )
32	8, 13, 17, 31	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( X ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) Y ) = { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } )
33	7, 32	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( X L Y ) = { z e. P | ( z e. ( X I Y ) \/ X e. ( z I Y ) \/ Y e. ( X I z ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  tglnssp  25447  tgellng  25448  tgisline  25522