Theorem topfne 32349

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	|- X = U. J
topfne.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
topfne	|- ( ( K e. Top /\ X = Y ) -> ( J C_ K <-> J Fne K ) )

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 20777	. . . 4 |- ( K e. Top -> ( topGen ` K ) = K )
2	1	sseq2d 3633	. . 3 |- ( K e. Top -> ( J C_ ( topGen ` K ) <-> J C_ K ) )
3	2	bicomd 213	. 2 |- ( K e. Top -> ( J C_ K <-> J C_ ( topGen ` K ) ) )
4		topfne.1	. . . 4 |- X = U. J
5		topfne.2	. . . 4 |- Y = U. K
6	4, 5	isfne4 32335	. . 3 |- ( J Fne K <-> ( X = Y /\ J C_ ( topGen ` K ) ) )
7	6	baibr 945	. 2 |- ( X = Y -> ( J C_ ( topGen ` K ) <-> J Fne K ) )
8	3, 7	sylan9bb 736	1 |- ( ( K e. Top /\ X = Y ) -> ( J C_ K <-> J Fne K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Topctop 20698   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-fne 32332

This theorem is referenced by: (None)