Theorem tgtop 20777

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	|- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 20766	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) <-> E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) ) )
2		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x = U. y )
3		uniopn 20702	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> U. y e. J )
5	2, 4	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x e. J )
6	5	expl 648	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
7	6	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
8	1, 7	sylbid 230	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) -> x e. J ) )
9	8	ssrdv 3609	. 2 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) C_ J )
10		bastg 20770	. 2 |- ( J e. Top -> J C_ ( topGen ` J ) )
11	9, 10	eqssd 3620	1 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699

This theorem is referenced by:  eltop  20778  eltop2  20779  eltop3  20780  bastop  20785  tgtop11  20786  basgen  20792  tgfiss  20795  bastop1  20797  resttop  20964  dis1stc  21302  alexsubALTlem1  21851  xrtgioo  22609  topfne  32349  topfneec  32350  topfneec2  32351  dissneqlem  33187