Theorem trclfvcotr 13750

Description: The transitive closure of a relation is a transitive relation. (Contributed by RP, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcotr	|- ( R e. V -> ( ( t+ ` R ) o. ( t+ ` R ) ) C_ ( t+ ` R ) )

Proof of Theorem trclfvcotr

Dummy variables a b c r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotr 5508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r o. r ) C_ r <-> A. a A. b A. c ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) )
2		sp 2053	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a A. b A. c ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) -> A. b A. c ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) )
3	2	19.21bbi 2060	. . . . . . . . . 10 |- ( A. a A. b A. c ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) -> ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) )
4	1, 3	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( ( a r b /\ b r c ) -> a r c ) )
6	5	a2i 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) )
7	6	alimi 1739	. . . . . 6 |- ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) )
8	7	ax-gen 1722	. . . . 5 |- A. c ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) )
9	8	ax-gen 1722	. . . 4 |- A. b A. c ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) )
10	9	ax-gen 1722	. . 3 |- A. a A. b A. c ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) )
11		brtrclfv 13743	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> ( a ( t+ ` R ) b <-> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) ) )
12		brtrclfv 13743	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> ( b ( t+ ` R ) c <-> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) )
13	11, 12	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) <-> ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) /\ A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) ) )
14		jcab 907	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) <-> ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) /\ ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) )
15	14	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) <-> A. r ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) /\ ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) )
16		19.26 1798	. . . . . . . 8 |- ( A. r ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) /\ ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) <-> ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) /\ A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) )
17	15, 16	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) <-> ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r b ) /\ A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> b r c ) ) )
18	13, 17	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) <-> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) ) )
19		brtrclfv 13743	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( a ( t+ ` R ) c <-> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) ) )
20	18, 19	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) -> a ( t+ ` R ) c ) <-> ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) ) ) )
21	20	albidv 1849	. . . 4 |- ( R e. V -> ( A. c ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) -> a ( t+ ` R ) c ) <-> A. c ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) ) ) )
22	21	2albidv 1851	. . 3 |- ( R e. V -> ( A. a A. b A. c ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) -> a ( t+ ` R ) c ) <-> A. a A. b A. c ( A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( a r b /\ b r c ) ) -> A. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> a r c ) ) ) )
23	10, 22	mpbiri 248	. 2 |- ( R e. V -> A. a A. b A. c ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) -> a ( t+ ` R ) c ) )
24		cotr 5508	. 2 |- ( ( ( t+ ` R ) o. ( t+ ` R ) ) C_ ( t+ ` R ) <-> A. a A. b A. c ( ( a ( t+ ` R ) b /\ b ( t+ ` R ) c ) -> a ( t+ ` R ) c ) )
25	23, 24	sylibr 224	1 |- ( R e. V -> ( ( t+ ` R ) o. ( t+ ` R ) ) C_ ( t+ ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888   t+ctcl 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-trcl 13726

This theorem is referenced by:  trclfvlb2  13751  trclidm  13754  trclfvcotrg  13757