Theorem txcld 21406

Description: The product of two closed sets is closed in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txcld	|- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( A X. B ) e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) )

Proof of Theorem txcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- U. R = U. R
2	1	cldss 20833	. . . 4 |- ( A e. ( Clsd ` R ) -> A C_ U. R )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- U. S = U. S
4	3	cldss 20833	. . . 4 |- ( B e. ( Clsd ` S ) -> B C_ U. S )
5		xpss12 5225	. . . 4 |- ( ( A C_ U. R /\ B C_ U. S ) -> ( A X. B ) C_ ( U. R X. U. S ) )
6	2, 4, 5	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( A X. B ) C_ ( U. R X. U. S ) )
7		cldrcl 20830	. . . 4 |- ( A e. ( Clsd ` R ) -> R e. Top )
8		cldrcl 20830	. . . 4 |- ( B e. ( Clsd ` S ) -> S e. Top )
9	1, 3	txuni 21395	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
11	6, 10	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( A X. B ) C_ U. ( R tX S ) )
12		difxp 5558	. . . 4 |- ( ( U. R X. U. S ) \ ( A X. B ) ) = ( ( ( U. R \ A ) X. U. S ) u. ( U. R X. ( U. S \ B ) ) )
13	10	difeq1d 3727	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( ( U. R X. U. S ) \ ( A X. B ) ) = ( U. ( R tX S ) \ ( A X. B ) ) )
14	12, 13	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( ( ( U. R \ A ) X. U. S ) u. ( U. R X. ( U. S \ B ) ) ) = ( U. ( R tX S ) \ ( A X. B ) ) )
15		txtop 21372	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
16	7, 8, 15	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
17	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> R e. Top )
18	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> S e. Top )
19	1	cldopn 20835	. . . . . 6 |- ( A e. ( Clsd ` R ) -> ( U. R \ A ) e. R )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( U. R \ A ) e. R )
21	3	topopn 20711	. . . . . 6 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> U. S e. S )
23		txopn 21405	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( ( U. R \ A ) e. R /\ U. S e. S ) ) -> ( ( U. R \ A ) X. U. S ) e. ( R tX S ) )
24	17, 18, 20, 22, 23	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( ( U. R \ A ) X. U. S ) e. ( R tX S ) )
25	1	topopn 20711	. . . . . 6 |- ( R e. Top -> U. R e. R )
26	17, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> U. R e. R )
27	3	cldopn 20835	. . . . . 6 |- ( B e. ( Clsd ` S ) -> ( U. S \ B ) e. S )
28	27	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( U. S \ B ) e. S )
29		txopn 21405	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( U. R e. R /\ ( U. S \ B ) e. S ) ) -> ( U. R X. ( U. S \ B ) ) e. ( R tX S ) )
30	17, 18, 26, 28, 29	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( U. R X. ( U. S \ B ) ) e. ( R tX S ) )
31		unopn 20708	. . . 4 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ( ( U. R \ A ) X. U. S ) e. ( R tX S ) /\ ( U. R X. ( U. S \ B ) ) e. ( R tX S ) ) -> ( ( ( U. R \ A ) X. U. S ) u. ( U. R X. ( U. S \ B ) ) ) e. ( R tX S ) )
32	16, 24, 30, 31	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( ( ( U. R \ A ) X. U. S ) u. ( U. R X. ( U. S \ B ) ) ) e. ( R tX S ) )
33	14, 32	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( U. ( R tX S ) \ ( A X. B ) ) e. ( R tX S ) )
34		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
35	34	iscld 20831	. . 3 |- ( ( R tX S ) e. Top -> ( ( A X. B ) e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( R tX S ) /\ ( U. ( R tX S ) \ ( A X. B ) ) e. ( R tX S ) ) ) )
36	16, 35	syl 17	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( R tX S ) /\ ( U. ( R tX S ) \ ( A X. B ) ) e. ( R tX S ) ) ) )
37	11, 33, 36	mpbir2and 957	1 |- ( ( A e. ( Clsd ` R ) /\ B e. ( Clsd ` S ) ) -> ( A X. B ) e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  txcls  21407  cnmpt2pc  22727  sxbrsigalem3  30334