Theorem txtop 21372

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )

Proof of Theorem txtop

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txval 21367	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
3		topbas 20776	. . . 4 |- ( R e. Top -> R e. TopBases )
4		topbas 20776	. . . 4 |- ( S e. Top -> S e. TopBases )
5	1	txbas 21370	. . . 4 |- ( ( R e. TopBases /\ S e. TopBases ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases )
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases )
7		tgcl 20773	. . 3 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) e. Top )
8	6, 7	syl 17	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) e. Top )
9	2, 8	eqeltrd 2701	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   X. cxp 5112   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  txtopi  21393  txtopon  21394  txcld  21406  neitx  21410  txlly  21439  txnlly  21440  txcmplem1  21444  txcmp  21446  hausdiag  21448  txhaus  21450  tx1stc  21453  txkgen  21455  xkococn  21463  xkoinjcn  21490  txconn  21492  imasnopn  21493  imasncls  21495  utop2nei  22054  utop3cls  22055  qtophaus  29903  txpconn  31214