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Theorem txnlly 21440
Description: If the property A is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1 |- ( ( j e. A /\ k e. A ) -> ( j tX k ) e. A )
Assertion
Ref Expression
txnlly |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( R tX S ) e. 𝑛Locally A )
Distinct variable groups:   j, k, A   R, j, k   S, k
Allowed substitution hint:   S( j)
Proof of Theorem txnlly
Dummy variables a b r s u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 21276 . . 3 |- ( R e. 𝑛Locally A -> R e. Top )
2 nllytop 21276 . . 3 |- ( S e. 𝑛Locally A -> S e. Top )
3 txtop 21372 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
41, 2, 3syl2an 494 . 2 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( R tX S ) e. Top )
5 eltx 21371 . . . 4 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( x e. ( R tX S ) <-> A. y e. x E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) )
6 simpll 790 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> R e. 𝑛Locally A )
7 simprll 802 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> u e. R )
8 simprrl 804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> y e. ( u X. v ) )
9 xp1st 7198 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u X. v ) -> ( 1st ` y ) e. u )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( 1st ` y ) e. u )
11 nlly2i 21279 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ u e. R /\ ( 1st ` y ) e. u ) -> E. a e. ~P u E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) )
126, 7, 10, 11syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> E. a e. ~P u E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) )
13 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> S e. 𝑛Locally A )
14 simprlr 803 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> v e. S )
15 xp2nd 7199 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u X. v ) -> ( 2nd ` y ) e. v )
168, 15syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. v )
17 nlly2i 21279 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. 𝑛Locally A /\ v e. S /\ ( 2nd ` y ) e. v ) -> E. b e. ~P v E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) )
1813, 14, 16, 17syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> E. b e. ~P v E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) )
19 reeanv 3107 . . . . . . . . 9 |- ( E. a e. ~P u E. b e. ~P v ( E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) <-> ( E. a e. ~P u E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ E. b e. ~P v E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) )
20 reeanv 3107 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. r e. R E. s e. S ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) <-> ( E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) )
214ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
221ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> R e. Top )
2322ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> R e. Top )
2413, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> S e. Top )
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> S e. Top )
26 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) -> r e. R )
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> r e. R )
28 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) -> s e. S )
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> s e. S )
30 txopn 21405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( r X. s ) e. ( R tX S ) )
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( r X. s ) e. ( R tX S ) )
328ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> y e. ( u X. v ) )
33 1st2nd2 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( u X. v ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
35 simprl1 1106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( 1st ` y ) e. r )
36 simprr1 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. s )
37 opelxpi 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ ( 2nd ` y ) e. s ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. ( r X. s ) )
3835, 36, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. ( r X. s ) )
3934, 38eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> y e. ( r X. s ) )
40 opnneip 20923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ( r X. s ) e. ( R tX S ) /\ y e. ( r X. s ) ) -> ( r X. s ) e. ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) )
4121, 31, 39, 40syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( r X. s ) e. ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) )
42 simprl2 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> r C_ a )
43 simprr2 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> s C_ b )
44 xpss12 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r C_ a /\ s C_ b ) -> ( r X. s ) C_ ( a X. b ) )
4542, 43, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( r X. s ) C_ ( a X. b ) )
46 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) -> a e. ~P u )
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> a e. ~P u )
4847elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> a C_ u )
497ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> u e. R )
50 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u e. R -> u C_ U. R )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> u C_ U. R )
5248, 51sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> a C_ U. R )
53 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) -> b e. ~P v )
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> b e. ~P v )
5554elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> b C_ v )
5614ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> v e. S )
57 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. S -> v C_ U. S )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> v C_ U. S )
5955, 58sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> b C_ U. S )
60 xpss12 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a C_ U. R /\ b C_ U. S ) -> ( a X. b ) C_ ( U. R X. U. S ) )
6152, 59, 60syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) C_ ( U. R X. U. S ) )
62 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. R = U. R
63 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. S = U. S
6462, 63txuni 21395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
6523, 25, 64syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
6661, 65sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) C_ U. ( R tX S ) )
67 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
6867ssnei2 20920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ( r X. s ) e. ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) ) /\ ( ( r X. s ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ U. ( R tX S ) ) ) -> ( a X. b ) e. ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) )
6921, 41, 45, 66, 68syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) e. ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) )
70 xpss12 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a C_ u /\ b C_ v ) -> ( a X. b ) C_ ( u X. v ) )
7148, 55, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) C_ ( u X. v ) )
72 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( u X. v ) C_ x )
7372ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( u X. v ) C_ x )
7471, 73sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) C_ x )
75 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
7675elpw2 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a X. b ) e. ~P x <-> ( a X. b ) C_ x )
7774, 76sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) e. ~P x )
7869, 77elind 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( a X. b ) e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
79 txrest 21434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( a X. b ) ) = ( ( R ↾t a ) tX ( S ↾t b ) ) )
8023, 25, 47, 54, 79syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( a X. b ) ) = ( ( R ↾t a ) tX ( S ↾t b ) ) )
81 simprl3 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( R ↾t a ) e. A )
82 simprr3 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( S ↾t b ) e. A )
83 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. A /\ k e. A ) -> ( j tX k ) e. A )
8483caovcl 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R ↾t a ) e. A /\ ( S ↾t b ) e. A ) -> ( ( R ↾t a ) tX ( S ↾t b ) ) e. A )
8581, 82, 84syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( ( R ↾t a ) tX ( S ↾t b ) ) e. A )
8680, 85eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( a X. b ) ) e. A )
87 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a X. b ) -> ( ( R tX S ) ↾t z ) = ( ( R tX S ) ↾t ( a X. b ) ) )
8887eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( a X. b ) -> ( ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A <-> ( ( R tX S ) ↾t ( a X. b ) ) e. A ) )
8988rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a X. b ) e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( ( R tX S ) ↾t ( a X. b ) ) e. A ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A )
9078, 86, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) /\ ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A )
9190ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) ) -> ( ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9291anassrs 680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9392rexlimdvva 3038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9420, 93syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( a e. ~P u /\ b e. ~P v ) ) -> ( ( E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9594rexlimdvva 3038 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( E. a e. ~P u E. b e. ~P v ( E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9619, 95syl5bir 233 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( ( E. a e. ~P u E. r e. R ( ( 1st ` y ) e. r /\ r C_ a /\ ( R ↾t a ) e. A ) /\ E. b e. ~P v E. s e. S ( ( 2nd ` y ) e. s /\ s C_ b /\ ( S ↾t b ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9712, 18, 96mp2and 715 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A )
9897expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) /\ ( u e. R /\ v e. S ) ) -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
9998rexlimdvva 3038 . . . . 5 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) -> E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
10099ralimdv 2963 . . . 4 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( A. y e. x E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) -> A. y e. x E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
1015, 100sylbid 230 . . 3 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( x e. ( R tX S ) -> A. y e. x E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
102101ralrimiv 2965 . 2 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> A. x e. ( R tX S ) A. y e. x E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A )
103 isnlly 21272 . 2 |- ( ( R tX S ) e. 𝑛Locally A <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ A. x e. ( R tX S ) A. y e. x E. z e. ( ( ( nei ` ( R tX S ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
1044, 102, 103sylanbrc 698 1 |- ( ( R e. 𝑛Locally A /\ S e. 𝑛Locally A ) -> ( R tX S ) e. 𝑛Locally A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ↾t crest 16081   Topctop 20698   neicnei 20901  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-nei 20902  df-nlly 21270  df-tx 21365
This theorem is referenced by:  xkohmeo  21618  cvmlift2lem13  31297
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