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Theorem txomap 29901
Description: Given two open maps F and G, H mapping pairs of sets, is also an open map for the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
txomap.f |- ( ph -> F : X --> Z )
txomap.g |- ( ph -> G : Y --> T )
txomap.j |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txomap.k |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txomap.l |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
txomap.m |- ( ph -> M e. (TopOn ` T ) )
txomap.1 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. L )
txomap.2 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G " y ) e. M )
txomap.a |- ( ph -> A e. ( J tX K ) )
txomap.h |- H = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
Assertion
Ref Expression
txomap |- ( ph -> ( H " A ) e. ( L tX M ) )
Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y   x, K, y   x, L, y   x, M, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y
Allowed substitution hints:   T( x, y)   Z( x, y)
Proof of Theorem txomap
Dummy variables a b c z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-6l 810 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ph )
2 simpllr 799 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> x e. J )
3 txomap.1 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. L )
41, 2, 3syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( F " x ) e. L )
5 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> y e. K )
6 txomap.2 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G " y ) e. M )
71, 5, 6syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( G " y ) e. M )
8 txomap.h . . . . . . . . . 10 |- H = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
9 opex 4932 . . . . . . . . . 10 |- <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. e. _V
108, 9fnmpt2i 7239 . . . . . . . . 9 |- H Fn ( X X. Y )
1110a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> H Fn ( X X. Y ) )
12 txomap.j . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
131, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14 toponss 20731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. J ) -> x C_ X )
1513, 2, 14syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> x C_ X )
16 txomap.k . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18 toponss 20731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ y e. K ) -> y C_ Y )
1917, 5, 18syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> y C_ Y )
20 xpss12 5225 . . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
2115, 19, 20syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
22 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> z e. ( x X. y ) )
23 fnfvima 6496 . . . . . . . 8 |- ( ( H Fn ( X X. Y ) /\ ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) /\ z e. ( x X. y ) ) -> ( H ` z ) e. ( H " ( x X. y ) ) )
2411, 21, 22, 23syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( H ` z ) e. ( H " ( x X. y ) ) )
25 simp-4r 807 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( H ` z ) = c )
26 txomap.f . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> Z )
27 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Z -> F Fn X )
281, 26, 273syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> F Fn X )
29 txomap.g . . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : Y --> T )
30 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( G : Y --> T -> G Fn Y )
311, 29, 303syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> G Fn Y )
328, 28, 31, 15, 19fimaproj 29900 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( H " ( x X. y ) ) = ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) )
3324, 25, 323eltr3d 2715 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> c e. ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) )
34 imass2 5501 . . . . . . . 8 |- ( ( x X. y ) C_ A -> ( H " ( x X. y ) ) C_ ( H " A ) )
3534ad2antll 765 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( H " ( x X. y ) ) C_ ( H " A ) )
3632, 35eqsstr3d 3640 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) C_ ( H " A ) )
37 xpeq1 5128 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( F " x ) -> ( a X. b ) = ( ( F " x ) X. b ) )
3837eleq2d 2687 . . . . . . . 8 |- ( a = ( F " x ) -> ( c e. ( a X. b ) <-> c e. ( ( F " x ) X. b ) ) )
3937sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( a = ( F " x ) -> ( ( a X. b ) C_ ( H " A ) <-> ( ( F " x ) X. b ) C_ ( H " A ) ) )
4038, 39anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( a = ( F " x ) -> ( ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) <-> ( c e. ( ( F " x ) X. b ) /\ ( ( F " x ) X. b ) C_ ( H " A ) ) ) )
41 xpeq2 5129 . . . . . . . . 9 |- ( b = ( G " y ) -> ( ( F " x ) X. b ) = ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) )
4241eleq2d 2687 . . . . . . . 8 |- ( b = ( G " y ) -> ( c e. ( ( F " x ) X. b ) <-> c e. ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) ) )
4341sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( b = ( G " y ) -> ( ( ( F " x ) X. b ) C_ ( H " A ) <-> ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) C_ ( H " A ) ) )
4442, 43anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( b = ( G " y ) -> ( ( c e. ( ( F " x ) X. b ) /\ ( ( F " x ) X. b ) C_ ( H " A ) ) <-> ( c e. ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) /\ ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) C_ ( H " A ) ) ) )
4540, 44rspc2ev 3324 . . . . . 6 |- ( ( ( F " x ) e. L /\ ( G " y ) e. M /\ ( c e. ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) /\ ( ( F " x ) X. ( G " y ) ) C_ ( H " A ) ) ) -> E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) )
464, 7, 33, 36, 45syl112anc 1330 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. J ) /\ y e. K ) /\ ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) -> E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) )
47 txomap.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( J tX K ) )
48 eltx 21371 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( A e. ( J tX K ) <-> A. z e. A E. x e. J E. y e. K ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) )
4912, 16, 48syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. ( J tX K ) <-> A. z e. A E. x e. J E. y e. K ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) ) )
5047, 49mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A E. x e. J E. y e. K ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) )
5150r19.21bi 2932 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> E. x e. J E. y e. K ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) )
5251adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) -> E. x e. J E. y e. K ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) )
5352adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) -> E. x e. J E. y e. K ( z e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ A ) )
5446, 53r19.29vva 3081 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) /\ z e. A ) /\ ( H ` z ) = c ) -> E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) )
558mpt2fun 6762 . . . . . 6 |- Fun H
56 fvelima 6248 . . . . . 6 |- ( ( Fun H /\ c e. ( H " A ) ) -> E. z e. A ( H ` z ) = c )
5755, 56mpan 706 . . . . 5 |- ( c e. ( H " A ) -> E. z e. A ( H ` z ) = c )
5857adantl 482 . . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) -> E. z e. A ( H ` z ) = c )
5954, 58r19.29a 3078 . . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( H " A ) ) -> E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) )
6059ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. c e. ( H " A ) E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) )
61 txomap.l . . 3 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
62 txomap.m . . 3 |- ( ph -> M e. (TopOn ` T ) )
63 eltx 21371 . . 3 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` T ) ) -> ( ( H " A ) e. ( L tX M ) <-> A. c e. ( H " A ) E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) ) )
6461, 62, 63syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( ( H " A ) e. ( L tX M ) <-> A. c e. ( H " A ) E. a e. L E. b e. M ( c e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( H " A ) ) ) )
6560, 64mpbird 247 1 |- ( ph -> ( H " A ) e. ( L tX M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   <.cop 4183   X. cxp 5112   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  TopOnctopon 20715   tX ctx 21363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-topgen 16104  df-topon 20716  df-tx 21365
This theorem is referenced by:  qtophaus  29903
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