Theorem qtophaus 29903

Description: If an open map's graph in the product space ( J tX J ) is closed, then its quotient topology is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtophaus.x	|- X = U. J
qtophaus.e	|- .~ = ( `' F o. F )
qtophaus.h	|- H = ( x e. X , y e. X |-> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
qtophaus.1	|- ( ph -> J e. Haus )
qtophaus.2	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtophaus.3	|- ( ( ph /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. ( J qTop F ) )
qtophaus.4	|- ( ph -> .~ e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) )

Assertion

Ref	Expression
qtophaus	|- ( ph -> ( J qTop F ) e. Haus )

Distinct variable groups:   x, .~ , y   x, F, y   x, H, y   x, J, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem qtophaus

Dummy variables a b c z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtophaus.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. Haus )
2		haustop 21135	. . . 4 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> J e. Top )
4		qtophaus.2	. . . 4 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
5		fofn 6117	. . . 4 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F Fn X )
7		qtophaus.x	. . . 4 |- X = U. J
8	7	qtoptop 21503	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F Fn X ) -> ( J qTop F ) e. Top )
9	3, 6, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. Top )
10		txtop 21372	. . . 4 |- ( ( ( J qTop F ) e. Top /\ ( J qTop F ) e. Top ) -> ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) e. Top )
11	9, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) e. Top )
12		idssxp 6009	. . . 4 |- ( _I |` U. ( J qTop F ) ) C_ ( U. ( J qTop F ) X. U. ( J qTop F ) )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( J qTop F ) = U. ( J qTop F )
14	13, 13	txuni 21395	. . . . 5 |- ( ( ( J qTop F ) e. Top /\ ( J qTop F ) e. Top ) -> ( U. ( J qTop F ) X. U. ( J qTop F ) ) = U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) )
15	9, 9, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( U. ( J qTop F ) X. U. ( J qTop F ) ) = U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) )
16	12, 15	syl5sseq 3653	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` U. ( J qTop F ) ) C_ U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) )
17	7	qtopuni 21505	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
18	3, 4, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y = U. ( J qTop F ) )
19	18	sqxpeqd 5141	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y X. Y ) = ( U. ( J qTop F ) X. U. ( J qTop F ) ) )
20	19, 15	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ph -> U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) = ( Y X. Y ) )
21	18	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ( J qTop F ) = Y )
22	21	reseq2d 5396	. . . . 5 |- ( ph -> ( _I |` U. ( J qTop F ) ) = ( _I |` Y ) )
23	20, 22	difeq12d 3729	. . . 4 |- ( ph -> ( U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) \ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) ) = ( ( Y X. Y ) \ ( _I |` Y ) ) )
24		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> x e. X )
25		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> y e. X )
26		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> <. x , y >. e. ( X X. X ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> <. x , y >. e. ( X X. X ) )
28		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( X X. X ) y <-> <. x , y >. e. ( X X. X ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> x ( X X. X ) y )
30		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( F ` x ) = a )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( F ` y ) = b )
32	30, 31	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. = <. a , b >. )
33		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> c = <. a , b >. )
34		simp-8r 815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
35	33, 34	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> <. a , b >. e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
36	32, 35	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
37		relxp 5227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Rel ( Y X. Y )
38		opeldifid 29412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Rel ( Y X. Y ) -> ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) <-> ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( Y X. Y ) /\ ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) ) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) <-> ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( Y X. Y ) /\ ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
40	36, 39	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( Y X. Y ) /\ ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
41	40	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) )
42	6	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> F Fn X )
43		qtophaus.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .~ = ( `' F o. F )
44	43	fcoinvbr 29419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn X /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x .~ y <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
45	42, 24, 25, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( x .~ y <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
46	45	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( -. x .~ y <-> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
47	41, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> -. x .~ y )
48		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( ( X X. X ) \ .~ ) y <-> <. x , y >. e. ( ( X X. X ) \ .~ ) )
49		brdif 4705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( ( X X. X ) \ .~ ) y <-> ( x ( X X. X ) y /\ -. x .~ y ) )
50	48, 49	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. ( ( X X. X ) \ .~ ) <-> ( x ( X X. X ) y /\ -. x .~ y ) )
51	29, 47, 50	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> <. x , y >. e. ( ( X X. X ) \ .~ ) )
52		qtophaus.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( x e. X , y e. X |-> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
53	52, 24, 25	fvproj 29899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( H ` <. x , y >. ) = <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
54	32, 53, 33	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> ( H ` <. x , y >. ) = c )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( H ` <. x , y >. ) )
56	55	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( H ` z ) = c <-> ( H ` <. x , y >. ) = c ) )
57	56	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. x , y >. e. ( ( X X. X ) \ .~ ) /\ ( H ` <. x , y >. ) = c ) -> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c )
58	51, 54, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) /\ y e. X ) /\ ( F ` y ) = b ) -> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c )
59		fofun 6116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -onto-> Y -> Fun F )
60	4, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Fun F )
61	60	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) -> Fun F )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) -> Fun F )
63		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) -> b e. Y )
64		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
65	4, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F " X ) = Y )
66	65	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) -> ( F " X ) = Y )
67	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) -> ( F " X ) = Y )
68	63, 67	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) -> b e. ( F " X ) )
69		fvelima 6248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ b e. ( F " X ) ) -> E. y e. X ( F ` y ) = b )
70	62, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) -> E. y e. X ( F ` y ) = b )
71	58, 70	r19.29a 3078	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) /\ x e. X ) /\ ( F ` x ) = a ) -> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c )
72		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) -> a e. Y )
73	72, 66	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) -> a e. ( F " X ) )
74		fvelima 6248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ a e. ( F " X ) ) -> E. x e. X ( F ` x ) = a )
75	61, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) -> E. x e. X ( F ` x ) = a )
76	71, 75	r19.29a 3078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) /\ a e. Y ) /\ b e. Y ) /\ c = <. a , b >. ) -> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) -> c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
78	77	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) -> c e. ( Y X. Y ) )
79		elxp2 5132	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( Y X. Y ) <-> E. a e. Y E. b e. Y c = <. a , b >. )
80	78, 79	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) -> E. a e. Y E. b e. Y c = <. a , b >. )
81	76, 80	r19.29vva 3081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) -> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> z = <. x , y >. )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( H ` z ) = ( H ` <. x , y >. ) )
84		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( H ` z ) = c )
85		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> x e. X )
86		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> y e. X )
87	52, 85, 86	fvproj 29899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( H ` <. x , y >. ) = <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
88	83, 84, 87	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> c = <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
89		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
90	4, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : X --> Y )
91	90	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> F : X --> Y )
92	91, 85	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( F ` x ) e. Y )
93	91, 86	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( F ` y ) e. Y )
94		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( Y X. Y ) <-> ( ( F ` x ) e. Y /\ ( F ` y ) e. Y ) )
95	92, 93, 94	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( Y X. Y ) )
96		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) )
97	82, 96	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> <. x , y >. e. ( ( X X. X ) \ .~ ) )
98	50	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. e. ( ( X X. X ) \ .~ ) -> -. x .~ y )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> -. x .~ y )
100	6	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> F Fn X )
101	100, 85, 86, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( x .~ y <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
102	101	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( -. x .~ y <-> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
103	99, 102	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) )
104	95, 103, 39	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
105	88, 104	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z = <. x , y >. ) -> c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
106		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) -> z e. ( X X. X ) )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) -> z e. ( X X. X ) )
108		elxp2 5132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( X X. X ) <-> E. x e. X E. y e. X z = <. x , y >. )
109	107, 108	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) -> E. x e. X E. y e. X z = <. x , y >. )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) -> E. x e. X E. y e. X z = <. x , y >. )
111	105, 110	r19.29vva 3081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ) /\ ( H ` z ) = c ) -> c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
112	111	r19.29an 3077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c ) -> c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
113	81, 112	impbida 877	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) <-> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c ) )
114		opex 4932	. . . . . . . . . 10 |- <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. _V
115	52, 114	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . 9 |- H Fn ( X X. X )
116		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( ( X X. X ) \ .~ ) C_ ( X X. X )
117		fvelimab 6253	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Fn ( X X. X ) /\ ( ( X X. X ) \ .~ ) C_ ( X X. X ) ) -> ( c e. ( H " ( ( X X. X ) \ .~ ) ) <-> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c ) )
118	115, 116, 117	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( H " ( ( X X. X ) \ .~ ) ) <-> E. z e. ( ( X X. X ) \ .~ ) ( H ` z ) = c )
119	113, 118	syl6rbbr 279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( c e. ( H " ( ( X X. X ) \ .~ ) ) <-> c e. ( ( Y X. Y ) \ _I ) ) )
120	119	eqrdv 2620	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H " ( ( X X. X ) \ .~ ) ) = ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
121		ssv 3625	. . . . . . 7 |- Y C_ _V
122		xpss2 5229	. . . . . . 7 |- ( Y C_ _V -> ( Y X. Y ) C_ ( Y X. _V ) )
123		difres 29413	. . . . . . 7 |- ( ( Y X. Y ) C_ ( Y X. _V ) -> ( ( Y X. Y ) \ ( _I |` Y ) ) = ( ( Y X. Y ) \ _I ) )
124	121, 122, 123	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( Y X. Y ) \ ( _I |` Y ) ) = ( ( Y X. Y ) \ _I )
125	120, 124	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ph -> ( H " ( ( X X. X ) \ .~ ) ) = ( ( Y X. Y ) \ ( _I |` Y ) ) )
126	7	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
127	3, 126	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
128		qtoptopon 21507	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
129	127, 4, 128	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
130		qtophaus.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. ( J qTop F ) )
131	130	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. J ( F " x ) e. ( J qTop F ) )
132		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F " x ) = ( F " y ) )
133	132	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F " x ) e. ( J qTop F ) <-> ( F " y ) e. ( J qTop F ) ) )
134	133	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. J ( F " x ) e. ( J qTop F ) <-> A. y e. J ( F " y ) e. ( J qTop F ) )
135	131, 134	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. J ( F " y ) e. ( J qTop F ) )
136	135	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. J ) -> ( F " y ) e. ( J qTop F ) )
137	7, 7	txuni 21395	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) )
138	3, 3, 137	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) )
139	138	difeq1d 3727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X X. X ) \ .~ ) = ( U. ( J tX J ) \ .~ ) )
140		qtophaus.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .~ e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) )
141		txtop 21372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( J tX J ) e. Top )
142	3, 3, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J tX J ) e. Top )
143		fcoinver 29418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn X -> ( `' F o. F ) Er X )
144	6, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F o. F ) Er X )
145		ereq1 7749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .~ = ( `' F o. F ) -> ( .~ Er X <-> ( `' F o. F ) Er X ) )
146	43, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .~ Er X <-> ( `' F o. F ) Er X )
147	144, 146	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .~ Er X )
148		erssxp 7765	. . . . . . . . . . 11 |- ( .~ Er X -> .~ C_ ( X X. X ) )
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .~ C_ ( X X. X ) )
150	149, 138	sseqtrd 3641	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .~ C_ U. ( J tX J ) )
151		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J )
152	151	iscld2 20832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX J ) e. Top /\ .~ C_ U. ( J tX J ) ) -> ( .~ e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) <-> ( U. ( J tX J ) \ .~ ) e. ( J tX J ) ) )
153	142, 150, 152	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( .~ e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) <-> ( U. ( J tX J ) \ .~ ) e. ( J tX J ) ) )
154	140, 153	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U. ( J tX J ) \ .~ ) e. ( J tX J ) )
155	139, 154	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X X. X ) \ .~ ) e. ( J tX J ) )
156	90, 90, 127, 127, 129, 129, 130, 136, 155, 52	txomap 29901	. . . . 5 |- ( ph -> ( H " ( ( X X. X ) \ .~ ) ) e. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) )
157	125, 156	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Y X. Y ) \ ( _I |` Y ) ) e. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) )
158	23, 157	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) \ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) ) e. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) )
159		eqid 2622	. . . . 5 |- U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) = U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) )
160	159	iscld2 20832	. . . 4 |- ( ( ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) e. Top /\ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) C_ U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) -> ( ( _I |` U. ( J qTop F ) ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) <-> ( U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) \ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) ) e. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) )
161	160	biimpar 502	. . 3 |- ( ( ( ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) e. Top /\ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) C_ U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) /\ ( U. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) \ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) ) e. ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) -> ( _I |` U. ( J qTop F ) ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) )
162	11, 16, 158, 161	syl21anc 1325	. 2 |- ( ph -> ( _I |` U. ( J qTop F ) ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) )
163	13	hausdiag 21448	. 2 |- ( ( J qTop F ) e. Haus <-> ( ( J qTop F ) e. Top /\ ( _I |` U. ( J qTop F ) ) e. ( Clsd ` ( ( J qTop F ) tX ( J qTop F ) ) ) ) )
164	9, 162, 163	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. Haus )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Er wer 7739   qTop cqtop 16163   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Hauscha 21112   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-topgen 16104  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-haus 21119  df-tx 21365

This theorem is referenced by: (None)