Theorem ufildr 21735

Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ufildr.1	|- J = ( F u. { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
ufildr	|- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Proof of Theorem ufildr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
2		ufildr.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( F u. { (/) } )
3	2	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. ( F u. { (/) } )
4		uniun 4456	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
5		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
6	5	unisn 4451	. . . . . . . . . . 11 |- U. { (/) } = (/)
7	6	uneq2i 3764	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
8		un0 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
9	4, 7, 8	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 |- U. ( F u. { (/) } ) = U. F
10	3, 9	eqtr2i 2645	. . . . . . . 8 |- U. F = U. J
11		ufilfil 21708	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12		filunibas 21685	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> U. F = X )
14	10, 13	syl5reqr 2671	. . . . . . 7 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> X = U. J )
15	14	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X <-> x C_ U. J ) )
16	1, 15	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. J -> x C_ X ) )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
18	17	cldss 20833	. . . . . 6 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
19	18, 15	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ X ) )
20	16, 19	jaod 395	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ X ) )
21		ufilss 21709	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
22		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- F C_ ( F u. { (/) } )
23	22, 2	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 |- F C_ J
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> F C_ J )
25	24	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F -> x e. J ) )
26	24	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> ( X \ x ) e. J ) )
27		filconn 21687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Conn )
28		conntop 21220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Conn -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
29	11, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
30	2, 29	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> J e. Top )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> J e. Top )
32	15	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> x C_ U. J )
33	17	iscld2 20832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
35	14	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( X \ x ) = ( U. J \ x ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
38	34, 37	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. J ) )
39	26, 38	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> x e. ( Clsd ` J ) ) )
40	25, 39	orim12d 883	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
41	21, 40	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
42	41	ex 450	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
43	20, 42	impbid 202	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) <-> x C_ X ) )
44		elun 3753	. . 3 |- ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
45		selpw 4165	. . 3 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
46	43, 44, 45	3bitr4g 303	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> x e. ~P X ) )
47	46	eqrdv 2620	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820  Conncconn 21214   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-top 20699  df-cld 20823  df-conn 21215  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by: (None)