Theorem fin1aufil 21736

Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) X, the set of infinite subsets of X is a free ultrafilter on X. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1aufil.1	|- F = ( ~P X \ Fin )

Assertion

Ref	Expression
fin1aufil	|- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( F e. ( UFil ` X ) /\ |^| F = (/) ) )

Proof of Theorem fin1aufil

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1aufil.1	. . . . . . 7 |- F = ( ~P X \ Fin )
2	1	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( x e. F <-> x e. ( ~P X \ Fin ) )
3		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P X \ Fin ) <-> ( x e. ~P X /\ -. x e. Fin ) )
4		selpw 4165	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
5	4	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P X /\ -. x e. Fin ) <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) )
6	2, 3, 5	3bitri 286	. . . . 5 |- ( x e. F <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( x e. F <-> ( x C_ X /\ -. x e. Fin ) ) )
8		elex 3212	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> X e. _V )
9		eldifn 3733	. . . . 5 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. X e. Fin )
10		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x e. Fin <-> X e. Fin ) )
11	10	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( -. x e. Fin <-> -. X e. Fin ) )
12	11	sbcieg 3468	. . . . 5 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( [. X / x ]. -. x e. Fin <-> -. X e. Fin ) )
13	9, 12	mpbird 247	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> [. X / x ]. -. x e. Fin )
14		0fin 8188	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
15		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
16		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
17	16	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( -. x e. Fin <-> -. (/) e. Fin ) )
18	15, 17	sbcie 3470	. . . . . . 7 |- ( [. (/) / x ]. -. x e. Fin <-> -. (/) e. Fin )
19	18	con2bii 347	. . . . . 6 |- ( (/) e. Fin <-> -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin )
20	14, 19	mpbi 220	. . . . 5 |- -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. [. (/) / x ]. -. x e. Fin )
22		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ z C_ y ) -> z e. Fin )
23	22	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( y e. Fin -> z e. Fin ) )
24	23	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( y e. Fin -> z e. Fin ) )
25	24	con3d 148	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( -. z e. Fin -> -. y e. Fin ) )
26		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
27		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. Fin <-> z e. Fin ) )
28	27	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( -. x e. Fin <-> -. z e. Fin ) )
29	26, 28	sbcie 3470	. . . . 5 |- ( [. z / x ]. -. x e. Fin <-> -. z e. Fin )
30		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
31		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. Fin <-> y e. Fin ) )
32	31	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( -. x e. Fin <-> -. y e. Fin ) )
33	30, 32	sbcie 3470	. . . . 5 |- ( [. y / x ]. -. x e. Fin <-> -. y e. Fin )
34	25, 29, 33	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ y ) -> ( [. z / x ]. -. x e. Fin -> [. y / x ]. -. x e. Fin ) )
35		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> X e. FinIa )
36		fin1ai 9115	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. FinIa /\ y C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
37	35, 36	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
38	37	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) )
39		inundif 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) = z
40		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i y ) = ( y i^i z )
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( y i^i z ) e. Fin )
42	40, 41	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z i^i y ) e. Fin )
43		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( X \ y ) e. Fin )
44		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> z C_ X )
45	44	ssdifd 3746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z \ y ) C_ ( X \ y ) )
46		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X \ y ) e. Fin /\ ( z \ y ) C_ ( X \ y ) ) -> ( z \ y ) e. Fin )
47	43, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( z \ y ) e. Fin )
48		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z i^i y ) e. Fin /\ ( z \ y ) e. Fin ) -> ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) e. Fin )
49	42, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> ( ( z i^i y ) u. ( z \ y ) ) e. Fin )
50	39, 49	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( ( y i^i z ) e. Fin /\ ( X \ y ) e. Fin ) ) -> z e. Fin )
51	50	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( y i^i z ) e. Fin ) -> ( ( X \ y ) e. Fin -> z e. Fin ) )
52	51	orim2d 885	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) /\ ( y i^i z ) e. Fin ) -> ( ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) )
53	52	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( y i^i z ) e. Fin -> ( ( y e. Fin \/ ( X \ y ) e. Fin ) -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) ) )
54	38, 53	mpid 44	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( y i^i z ) e. Fin -> ( y e. Fin \/ z e. Fin ) ) )
55	54	con3d 148	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) -> -. ( y i^i z ) e. Fin ) )
56	33, 29	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) <-> ( -. y e. Fin /\ -. z e. Fin ) )
57		ioran 511	. . . . . 6 |- ( -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) <-> ( -. y e. Fin /\ -. z e. Fin ) )
58	56, 57	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) <-> -. ( y e. Fin \/ z e. Fin ) )
59	30	inex1 4799	. . . . . 6 |- ( y i^i z ) e. _V
60		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( x e. Fin <-> ( y i^i z ) e. Fin ) )
61	60	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( -. x e. Fin <-> -. ( y i^i z ) e. Fin ) )
62	59, 61	sbcie 3470	. . . . 5 |- ( [. ( y i^i z ) / x ]. -. x e. Fin <-> -. ( y i^i z ) e. Fin )
63	55, 58, 62	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ y C_ X /\ z C_ X ) -> ( ( [. y / x ]. -. x e. Fin /\ [. z / x ]. -. x e. Fin ) -> [. ( y i^i z ) / x ]. -. x e. Fin ) )
64	7, 8, 13, 21, 34, 63	isfild 21662	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> F e. ( Fil ` X ) )
65	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> -. X e. Fin )
66		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> ( x u. ( X \ x ) ) e. Fin )
67		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- X C_ ( x u. X )
68		undif2 4044	. . . . . . . . 9 |- ( x u. ( X \ x ) ) = ( x u. X )
69	67, 68	sseqtr4i 3638	. . . . . . . 8 |- X C_ ( x u. ( X \ x ) )
70		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x u. ( X \ x ) ) e. Fin /\ X C_ ( x u. ( X \ x ) ) ) -> X e. Fin )
71	66, 69, 70	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) -> X e. Fin )
72	65, 71	nsyl 135	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> -. ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) )
73		ianor 509	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. Fin /\ ( X \ x ) e. Fin ) <-> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
74	72, 73	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
75		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
76	75	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
77	6	baib 944	. . . . . . 7 |- ( x C_ X -> ( x e. F <-> -. x e. Fin ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F <-> -. x e. Fin ) )
79	1	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( ( X \ x ) e. F <-> ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) )
80		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( X \ x ) C_ X
81		elpw2g 4827	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) )
83	80, 82	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( X \ x ) e. ~P X )
84		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> ( ( X \ x ) e. ~P X /\ -. ( X \ x ) e. Fin ) )
85	84	baib 944	. . . . . . . 8 |- ( ( X \ x ) e. ~P X -> ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
86	83, 85	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. ( ~P X \ Fin ) <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
87	79, 86	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( X \ x ) e. F <-> -. ( X \ x ) e. Fin ) )
88	78, 87	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) <-> ( -. x e. Fin \/ -. ( X \ x ) e. Fin ) ) )
89	74, 88	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
90	89	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
91		isufil 21707	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
92	64, 90, 91	sylanbrc 698	. 2 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> F e. ( UFil ` X ) )
93		snfi 8038	. . . . 5 |- { x } e. Fin
94		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( { x } e. ( ~P X \ Fin ) -> -. { x } e. Fin )
95	94, 1	eleq2s 2719	. . . . 5 |- ( { x } e. F -> -. { x } e. Fin )
96	93, 95	mt2 191	. . . 4 |- -. { x } e. F
97		uffixsn 21729	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x e. |^| F ) -> { x } e. F )
98	92, 97	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( X e. (FinIa \ Fin ) /\ x e. |^| F ) -> { x } e. F )
99	98	ex 450	. . . 4 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( x e. |^| F -> { x } e. F ) )
100	96, 99	mtoi 190	. . 3 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> -. x e. |^| F )
101	100	eq0rdv 3979	. 2 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> |^| F = (/) )
102	92, 101	jca 554	1 |- ( X e. (FinIa \ Fin ) -> ( F e. ( UFil ` X ) /\ |^| F = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Fin^Iacfin1a 9100   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fin1a 9107  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by: (None)