Theorem filconn 21687

Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filconn	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Conn )

Proof of Theorem filconn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		filunibas 21685	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
3	2	fveq2d 6195	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( Fil ` U. F ) = ( Fil ` X ) )
4	1, 3	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
5		nss 3663	. . . . . . . 8 |- ( -. x C_ { (/) } <-> E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) )
6		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> F e. ( Fil ` U. F ) )
7		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( F u. { (/) } ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
8	7	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> y e. ( F u. { (/) } ) )
9		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( F u. { (/) } ) <-> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. F \/ y e. { (/) } ) )
11	10	orcomd 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( y e. { (/) } \/ y e. F ) )
12	11	ord 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ y e. x ) -> ( -. y e. { (/) } -> y e. F ) )
13	12	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y e. F )
14		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
16		uniun 4456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
17		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. _V
18	17	unisn 4451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
19	18	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
20		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
21	16, 19, 20	3eqtrri 2649	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. F = U. ( F u. { (/) } )
22	15, 21	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x C_ U. F )
23		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. x -> y C_ U. x )
24	23	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> y C_ U. x )
25		filss 21657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ ( y e. F /\ U. x C_ U. F /\ y C_ U. x ) ) -> U. x e. F )
26	6, 13, 22, 24, 25	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. F )
27		elun1 3780	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x e. F -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) /\ ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
30	29	exlimdv 1861	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. x /\ -. y e. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
31	5, 30	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> ( -. x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
32		uni0b 4463	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) <-> x C_ { (/) } )
33		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } C_ ( F u. { (/) } )
34	17	snid 4208	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) }
35	33, 34	sselii 3600	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( F u. { (/) } )
36		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( U. x = (/) -> ( U. x e. ( F u. { (/) } ) <-> (/) e. ( F u. { (/) } ) ) )
37	35, 36	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( U. x = (/) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
38	32, 37	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( x C_ { (/) } -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
39	31, 38	pm2.61d2 172	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x C_ ( F u. { (/) } ) ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) )
40	39	ex 450	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
41	40	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) )
42		filin 21658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. F )
43		elun1 3780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i y ) e. F -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
45	44	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) /\ y e. F ) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
47		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
48		ineq2 3808	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = ( x i^i (/) ) )
49		in0 3968	. . . . . . . . . . 11 |- ( x i^i (/) ) = (/)
50	48, 49	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
51	50, 35	syl6eqel 2709	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
52	47, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. { (/) } -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
53	52	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
54		ralun 3795	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. F ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. y e. { (/) } ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
55	46, 53, 54	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
57		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
58		ineq1 3807	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = ( (/) i^i y ) )
59		0in 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) i^i y ) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) = (/) )
61	60, 35	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
62	61	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
63	57, 62	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. { (/) } -> A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
64	63	rgen 2922	. . . . 5 |- A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } )
65		ralun 3795	. . . . 5 |- ( ( A. x e. F A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) /\ A. x e. { (/) } A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
66	56, 64, 65	sylancl 694	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) )
67		p0ex 4853	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
68		unexg 6959	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ { (/) } e. _V ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
69	67, 68	mpan2 707	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. _V )
70		istopg 20700	. . . . 5 |- ( ( F u. { (/) } ) e. _V -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
71	69, 70	syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ ( F u. { (/) } ) -> U. x e. ( F u. { (/) } ) ) /\ A. x e. ( F u. { (/) } ) A. y e. ( F u. { (/) } ) ( x i^i y ) e. ( F u. { (/) } ) ) ) )
72	41, 66, 71	mpbir2and 957	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
73	21	cldopn 20835	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) )
74		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( ( U. F \ x ) e. ( F u. { (/) } ) <-> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
75	73, 74	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) )
76		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) <-> ( x e. F \/ x e. { (/) } ) )
77		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F e. ( fBas ` U. F ) )
78		fbncp 21643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ( fBas ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
79	77, 78	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> -. ( U. F \ x ) e. F )
80	79	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. F ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. F -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
82	57	a1i13 27	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. { (/) } -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
83	81, 82	jaod 395	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. F \/ x e. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
84	76, 83	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( F u. { (/) } ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) ) )
85	84	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. F -> x = (/) ) )
86		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> ( U. F \ x ) = (/) )
87		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. ( F u. { (/) } ) )
88	87, 21	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( F u. { (/) } ) -> x C_ U. F )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> x C_ U. F )
90		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. F C_ x <-> ( U. F \ x ) = (/) )
91	90	biimpri 218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. F \ x ) = (/) -> U. F C_ x )
92		eqss 3618	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. F <-> ( x C_ U. F /\ U. F C_ x ) )
93	92	simplbi2 655	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ U. F -> ( U. F C_ x -> x = U. F ) )
94	89, 91, 93	syl2im 40	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) = (/) -> x = U. F ) )
95	86, 94	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( U. F \ x ) e. { (/) } -> x = U. F ) )
96	85, 95	orim12d 883	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( ( ( U. F \ x ) e. F \/ ( U. F \ x ) e. { (/) } ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
97	75, 96	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ x e. ( F u. { (/) } ) ) -> ( x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
98	97	expimpd 629	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. F ) ) )
99		elin 3796	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) <-> ( x e. ( F u. { (/) } ) /\ x e. ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) )
100		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
101	100	elpr 4198	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , U. F } <-> ( x = (/) \/ x = U. F ) )
102	98, 99, 101	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( x e. ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) -> x e. { (/) , U. F } ) )
103	102	ssrdv 3609	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } )
104	21	isconn2 21217	. . 3 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Conn <-> ( ( F u. { (/) } ) e. Top /\ ( ( F u. { (/) } ) i^i ( Clsd ` ( F u. { (/) } ) ) ) C_ { (/) , U. F } ) )
105	72, 103, 104	sylanbrc 698	. 2 |- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> ( F u. { (/) } ) e. Conn )
106	4, 105	syl 17	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Conn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   ` cfv 5888   fBascfbas 19734   Topctop 20698   Clsdccld 20820  Conncconn 21214   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-top 20699  df-cld 20823  df-conn 21215  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  ufildr  21735