Theorem unelcarsg 30374

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
difelcarsg.1	|- ( ph -> A e. (toCaraSiga ` M ) )
inelcarsg.1	|- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) )
inelcarsg.2	|- ( ph -> B e. (toCaraSiga ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
unelcarsg	|- ( ph -> ( A u. B ) e. (toCaraSiga ` M ) )

Distinct variable groups:   M, a   O, a   ph, a   A, a, b   B, a, b   M, b   O, b   ph, b

Allowed substitution hints:   V( a, b)

Proof of Theorem unelcarsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
2		carsgval.2	. . . . 5 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3		difelcarsg.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. (toCaraSiga ` M ) )
4	1, 2, 3	elcarsgss 30371	. . . 4 |- ( ph -> A C_ O )
5		dfss4 3858	. . . 4 |- ( A C_ O <-> ( O \ ( O \ A ) ) = A )
6	4, 5	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( O \ ( O \ A ) ) = A )
7		inelcarsg.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. (toCaraSiga ` M ) )
8	1, 2, 7	elcarsgss 30371	. . . 4 |- ( ph -> B C_ O )
9		dfss4 3858	. . . 4 |- ( B C_ O <-> ( O \ ( O \ B ) ) = B )
10	8, 9	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( O \ ( O \ B ) ) = B )
11	6, 10	uneq12d 3768	. 2 |- ( ph -> ( ( O \ ( O \ A ) ) u. ( O \ ( O \ B ) ) ) = ( A u. B ) )
12		difindi 3881	. . 3 |- ( O \ ( ( O \ A ) i^i ( O \ B ) ) ) = ( ( O \ ( O \ A ) ) u. ( O \ ( O \ B ) ) )
13	1, 2, 3	difelcarsg 30372	. . . . 5 |- ( ph -> ( O \ A ) e. (toCaraSiga ` M ) )
14		inelcarsg.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) )
15	1, 2, 7	difelcarsg 30372	. . . . 5 |- ( ph -> ( O \ B ) e. (toCaraSiga ` M ) )
16	1, 2, 13, 14, 15	inelcarsg 30373	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O \ A ) i^i ( O \ B ) ) e. (toCaraSiga ` M ) )
17	1, 2, 16	difelcarsg 30372	. . 3 |- ( ph -> ( O \ ( ( O \ A ) i^i ( O \ B ) ) ) e. (toCaraSiga ` M ) )
18	12, 17	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( ph -> ( ( O \ ( O \ A ) ) u. ( O \ ( O \ B ) ) ) e. (toCaraSiga ` M ) )
19	11, 18	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( A u. B ) e. (toCaraSiga ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-carsg 30364

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  30378