inelcarsg - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem inelcarsg 30373

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
carsgval.1
carsgval.2
difelcarsg.1	toCaraSiga
inelcarsg.1	$/\$ $/\$
inelcarsg.2	toCaraSiga

**Assertion**
Ref	Expression
inelcarsg	toCaraSiga

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem inelcarsg Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difelcarsg.1	. . . . . 6 toCaraSiga
2		carsgval.1	. . . . . . 7
3		carsgval.2	. . . . . . 7
4	2, 3	elcarsg 30367	. . . . . 6 toCaraSiga $/\$ $\$
5	1, 4	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $\$
6	5	simpld 475	. . . 4
7		ssinss1 3841	. . . 4
8	6, 7	syl 17	. . 3
9		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9
10	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
11		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	11	elpwdifcl 29358	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
13	10, 12	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
14	9, 13	sseldi 3601	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
15	11	elpwincl1 29357	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
16	15	elpwdifcl 29358	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
17	10, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
18	9, 17	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
19	11	elpwdifcl 29358	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
20	10, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
21	9, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
22	18, 21	xaddcld 12131	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
23	11	elpwincl1 29357	. . . . . . . . . 10 $/\$
24	10, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$
25	9, 24	sseldi 3601	. . . . . . . 8 $/\$
26		indifundif 29356	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$
27	26	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$
28		inelcarsg.1	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
29	28	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
30	29	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
32		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
36	33, 35	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
37		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $\$
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $\$
41	38, 40	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
42	36, 41	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
43	42	imp 445	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
44	16, 19, 31, 43	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
45	27, 44	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $\$
46		xleadd2a 12084	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
47	14, 22, 25, 45, 46	syl31anc 1329	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$
48		inelcarsg.2	. . . . . . . . . . . . 13 toCaraSiga
49	2, 3	elcarsg 30367	. . . . . . . . . . . . 13 toCaraSiga $/\$ $\$
50	48, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
51	50	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 $\$
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
53		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
55		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
57	54, 56	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
59	57, 58	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $\$
61	15, 60	rspcdv 3312	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$
62	52, 61	mpd 15	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $\$
64	15	elpwincl1 29357	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	10, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$
66		xrge0addass 29690	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
67	65, 17, 20, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
68		inass 3823	. . . . . . . . . . 11
69	68	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
71	67, 70	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
72	5	simprd 479	. . . . . . . . 9 $\$
73	72	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
74	63, 71, 73	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$
75	47, 74	breqtrd 4679	. . . . . 6 $/\$ $\$
76		inundif 4046	. . . . . . . 8 $\$
77	76	fveq2i 6194	. . . . . . 7 $\$
78		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . 12
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
82	79, 81	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10
83		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
87	84, 86	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$
88	82, 87	rspc2v 3322	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$
89	88	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
90	23, 12, 31, 89	syl21anc 1325	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$
91	77, 90	syl5eqbrr 4689	. . . . . 6 $/\$ $\$
92	75, 91	jca 554	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ $\$
93	25, 14	xaddcld 12131	. . . . . 6 $/\$ $\$
94	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
95	9, 94	sseldi 3601	. . . . . 6 $/\$
96		xrletri3 11985	. . . . . 6 $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
97	93, 95, 96	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
98	92, 97	mpbird 247	. . . 4 $/\$ $\$
99	98	ralrimiva 2966	. . 3 $\$
100	8, 99	jca 554	. 2 $/\$ $\$
101	2, 3	elcarsg 30367	. 2 toCaraSiga $/\$ $\$
102	100, 101	mpbird 247	1 toCaraSiga

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

cpw 4158 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc0 9936

cpnf 10071

cxr 10073

cle 10075

cxad 11944

cicc 12178 toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-xadd 11947 df-icc 12182 df-carsg 30364

This theorem is referenced by: unelcarsg 30374 difelcarsg2 30375

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