Theorem uzinfi 11768

Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfi.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
uzinfi	|- inf ( ( ZZ>= ` M ) , RR , < ) = M

Proof of Theorem uzinfi

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinfi.1	. 2 |- M e. ZZ
2		ltso 10118	. . . 4 |- < Or RR
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ZZ -> < Or RR )
4		zre 11381	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		uzid 11702	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluz2 11693	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) )
7	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> M e. RR )
8		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
10	7, 9	lenltd 10183	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> -. k < M ) )
11	10	biimp3a 1432	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> -. k < M )
12	11	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( M e. ZZ -> -. k < M ) )
13	6, 12	sylbi 207	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ -> -. k < M ) )
14	13	impcom 446	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. k < M )
15	3, 4, 5, 14	infmin 8400	. 2 |- ( M e. ZZ -> inf ( ( ZZ>= ` M ) , RR , < ) = M )
16	1, 15	ax-mp 5	1 |- inf ( ( ZZ>= ` M ) , RR , < ) = M

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   Or wor 5034   ` cfv 5888  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  nninf  11769  nn0inf  11770