Theorem supcl 8364

Description: A supremum belongs to its base class (closure law). See also supub 8365 and suplub 8366. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmo.1	|- ( ph -> R Or A )
supcl.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supcl	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. A )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, R, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem supcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmo.1	. . 3 |- ( ph -> R Or A )
2	1	supval2 8361	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
3		supcl.2	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
4	1, 3	supeu 8360	. . 3 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
5		riotacl 6625	. . 3 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. A )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. A )
7	2, 6	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   Or wor 5034   iota_crio 6610   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-po 5035  df-so 5036  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  suplub2  8367  supiso  8381  infcl  8394  inflb  8395  infglb  8396  infglbb  8397  suprcl  10983  supxrcl  12145  dgrcl  23989  supssd  29487  xrsupssd  29524  esum2d  30155  oddpwdc  30416  wzelOLD  31772  supclt  33533