Theorem elbigolo1 42351

Description: A function (into the positive reals) is of order G(x) iff the quotient of the function and G(x) (also a function into the positive reals) is an eventually upper bounded function. (Contributed by AV, 20-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigolo1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem elbigolo1

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
2		rpssre 11843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
4	1, 3	fssd 6057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
5	4	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
8		simplrr 801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
9		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ+)
11	10	rpregt0d 11878	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦)))
12	7, 8, 11	3jca 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))))
13		ledivmul2 10902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → (((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
14	13	bicomd 213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐺‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
16		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
17	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
18	16, 17	fssd 6057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
19	18	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
20		reex 10027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
21	20	ssex 4802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
22	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
23	5, 19, 22	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V))
26		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → Fun 𝐺)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → Fun 𝐺)
28	21	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+))
29	28	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V))
30		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
32		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
33		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
34		0nrp 11865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ran 𝐺 ⊆ ℝ+)
36	35	ssneld 3605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → (¬ 0 ∈ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺))
37	34, 36	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
38		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∉ ran 𝐺 ↔ ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
39	37, 38	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 0 ∉ ran 𝐺)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 0 ∉ ran 𝐺)
42		suppdm 42300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 0 ∉ ran 𝐺) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
43	27, 31, 32, 41, 42	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
44		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → dom 𝐺 = 𝐴)
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → dom 𝐺 = 𝐴)
46	43, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
47	46	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = 𝐴)
48	47	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
50	49	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)))
51	50	biimpa 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0))
52		refdivmptfv 42340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
53	25, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)))
54	53	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ ((𝐹‘𝑦) / (𝐺‘𝑦)) ≤ 𝑚))
55	15, 54	bitr4d 271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚))
56	55	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
57	56	ralbidva 2985	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
58	57	2rexbidva 3056	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
59		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
60		ssid 3624	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
62		elbigo2 42346	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
63	19, 59, 5, 61, 62	syl22anc 1327	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
64		refdivmptf 42336	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
65	23, 64	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
66	44	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ+ → 𝐴 = dom 𝐺)
67	66	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = dom 𝐺)
68		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺:𝐴⟶ℝ+)
69	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 ∈ V)
70	68, 69, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → 𝐺 ∈ V)
71	27, 70, 32, 41, 42	syl31anc 1329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
72	71	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐺 supp 0) = dom 𝐺)
73	67, 72	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → 𝐴 = (𝐺 supp 0))
74	73	feq2d 6031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ↔ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
75	65, 74	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ)
76		ello12 14247	. . 3 ⊢ (((𝐹 /f 𝐺):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
77	75, 59, 76	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
78	58, 63, 77	3bitr4d 300	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ+ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 /f 𝐺) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ran crn 5115  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  ≤𝑂(1)clo1 14218   /_f cfdiv 42331  Οcbigo 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-supp 7296  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833  df-ico 12181  df-lo1 14222  df-fdiv 42332  df-bigo 42342

This theorem is referenced by: (None)