Theorem elrfi 37257

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑉

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V))
3		inex1g 4801	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V)
4		eleq1 2689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V))
5	3, 4	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
6	5	rexlimdvw 3034	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
8		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
9		snex 4908	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ∈ V
10		pwexg 4850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
12		simplr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	ssexd 4805	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14		unexg 6959	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
16		elfi 8319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
17	8, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
18		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶)
19		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ {𝐵})
20	19	pweqi 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) = 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
21	18, 20	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
22	21	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}))
23	9	elpwun 6977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
25	24	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
26		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	26	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
28		diffi 8192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Fin → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
31	25, 30	elind 3798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
32		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
33		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ 𝑤)
34		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ∈ V)
36		intex 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑤 ∈ V)
37	35, 36	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
38		intssuni 4499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
40	18	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
41	40	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
43		pwidg 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
44	43	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
47	45, 46	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
49	42, 48	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵)
50		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
51	49, 50	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
52	39, 51	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ 𝐵)
53	33, 52	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
54		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
55	53, 54	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
56	32, 55	syl5req 2669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴))
57		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
58	57	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
60		intun 4509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤)
61		intsng 4512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ {𝐵} = 𝐵)
62	61	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
63	60, 62	syl5req 2669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
64	63	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
65	59, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
66		undif2 4044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ({𝐵} ∪ 𝑤)
67	66	inteqi 4479	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤)
68	65, 67	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})))
69		intun 4509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
70	61	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
71	69, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
72	71	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
73	68, 72	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
74		inteq 4478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → ∩ 𝑣 = ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
75	74	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
76	75	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ↔ 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))))
77	76	rspcev 3309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
78	31, 73, 77	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
79	78	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
80		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶)
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
82		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐶
83	82	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐶)
84		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑣 ⊆ 𝐶)
85		ssun4 3779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐶 → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
86	83, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
88	81, 87	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
89		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ V
90	9, 89	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ V
91	90	elpw 4164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ↔ ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
92	88, 91	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
93		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
94		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ Fin
95	94	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ Fin)
97		unfi 8227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
98	93, 96, 97	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
99	92, 98	elind 3798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin))
100	61	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = ∩ {𝐵})
101	100	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣))
102		intun 4509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣)
103	101, 102	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
104	103	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
105		inteq 4478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ({𝐵} ∪ 𝑣) → ∩ 𝑤 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
106	105	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ({𝐵} ∪ 𝑣) → ((𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤 ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣)))
107	106	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
108	99, 104, 107	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
109		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
110	109	rexbidv 3052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
111	108, 110	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
112	111	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
113	79, 112	impbid 202	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
114	17, 113	bitrd 268	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
115	114	ex 450	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))))
116	2, 7, 115	pm5.21ndd 369	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ cuni 4436  ∩ cint 4475  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  elrfirn  37258