Theorem elrfi 37257

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	|- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Distinct variable groups:   v, A   v, B   v, C   v, V

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 |- ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V ) )
3		inex1g 4801	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) e. _V )
4		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A e. _V <-> ( B i^i |^| v ) e. _V ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( B e. V -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
6	5	rexlimdvw 3034	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
7	6	adantr 481	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
8		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> A e. _V )
9		snex 4908	. . . . . 6 |- { B } e. _V
10		pwexg 4850	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ~P B e. _V )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ~P B e. _V )
12		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C C_ ~P B )
13	11, 12	ssexd 4805	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C e. _V )
14		unexg 6959	. . . . . 6 |- ( ( { B } e. _V /\ C e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
16		elfi 8319	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( { B } u. C ) e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
18		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( { B } u. C )
19		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { B } u. C ) = ( C u. { B } )
20	19	pweqi 4162	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P ( { B } u. C ) = ~P ( C u. { B } )
21	18, 20	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( C u. { B } )
22	21	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( C u. { B } ) )
23	9	elpwun 6977	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P ( C u. { B } ) <-> ( w \ { B } ) e. ~P C )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
25	24	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
26		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ Fin
27	26	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. Fin )
28		diffi 8192	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Fin -> ( w \ { B } ) e. Fin )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
31	25, 30	elind 3798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
32		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
33		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| w )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A e. _V )
35	33, 34	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w e. _V )
36		intex 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w =/= (/) <-> |^| w e. _V )
37	35, 36	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w =/= (/) )
38		intssuni 4499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w =/= (/) -> |^| w C_ U. w )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ U. w )
40	18	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( { B } u. C ) )
41	40	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
43		pwidg 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. V -> B e. ~P B )
44	43	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. V -> { B } C_ ~P B )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> { B } C_ ~P B )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> C C_ ~P B )
47	45, 46	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
49	42, 48	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ~P B )
50		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C_ ~P B <-> U. w C_ B )
51	49, 50	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> U. w C_ B )
52	39, 51	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ B )
53	33, 52	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A C_ B )
54		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
55	53, 54	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( A i^i B ) = A )
56	32, 55	syl5req 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i A ) )
57		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = |^| w -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
58	57	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| w ) )
60		intun 4509	. . . . . . . . . . . 12 |- |^| ( { B } u. w ) = ( |^| { B } i^i |^| w )
61		intsng 4512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. V -> |^| { B } = B )
62	61	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| w ) = ( B i^i |^| w ) )
63	60, 62	syl5req 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
64	63	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
65	59, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. w ) )
66		undif2 4044	. . . . . . . . . 10 |- ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( { B } u. w )
67	66	inteqi 4479	. . . . . . . . 9 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = |^| ( { B } u. w )
68	65, 67	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) )
69		intun 4509	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) )
70	61	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
71	69, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
72	71	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
73	68, 72	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
74		inteq 4478	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( w \ { B } ) -> |^| v = |^| ( w \ { B } ) )
75	74	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( B i^i |^| v ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
76	75	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) <-> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) )
77	76	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
78	31, 73, 77	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
79	78	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
80		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- { B } C_ ( { B } u. C )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> { B } C_ ( { B } u. C ) )
82		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ ~P C
83	82	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. ~P C )
84		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P C -> v C_ C )
85		ssun4 3779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ C -> v C_ ( { B } u. C ) )
86	83, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
88	81, 87	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
89		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
90	9, 89	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B } u. v ) e. _V
91	90	elpw 4164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) <-> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
92	88, 91	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) )
93		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { B } e. Fin
94		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ Fin
95	94	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. Fin )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v e. Fin )
97		unfi 8227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
98	93, 96, 97	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
99	92, 98	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) )
100	61	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> B = |^| { B } )
101	100	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = ( |^| { B } i^i |^| v ) )
102		intun 4509	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. v ) = ( |^| { B } i^i |^| v )
103	101, 102	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
104	103	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
105		inteq 4478	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( { B } u. v ) -> |^| w = |^| ( { B } u. v ) )
106	105	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( { B } u. v ) -> ( ( B i^i |^| v ) = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) )
107	106	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
108	99, 104, 107	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
109		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
110	109	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
111	108, 110	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
112	111	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
113	79, 112	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
114	17, 113	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
115	114	ex 450	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) ) )
116	2, 7, 115	pm5.21ndd 369	1 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  elrfirn  37258