Theorem gtinfOLD 32314

Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) Obsolete version of gtinf 32313 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gtinfOLD	⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gtinfOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gtso 10119	. . . . . . 7 ⊢ ◡ < Or ℝ
3	2	supex 8369	. . . . . 6 ⊢ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) ∈ V
4		brcnvg 5303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) ∈ V) → (𝐴◡ < sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴))
5	3, 4	mpan2 707	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴◡ < sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) ↔ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴))
6	5	biimpar 502	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴) → 𝐴◡ < sup(𝑆, ℝ, ◡ < ))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → 𝐴◡ < sup(𝑆, ℝ, ◡ < ))
8	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → ◡ < Or ℝ)
9		infm3 10982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
10		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
11		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	10, 11	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥◡ < 𝑦 ↔ 𝑦 < 𝑥)
13	12	notbii 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
14	13	ralbii 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥)
15	11, 10	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑦)
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	11, 16	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
18	17	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)
19	15, 18	imbi12i 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
20	19	ralbii 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦))
21	14, 20	anbi12i 733	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
22	21	rexbii 3041	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
23	9, 22	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧)))
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑦◡ < 𝑧)))
25	8, 24	suplub 8366	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴◡ < sup(𝑆, ℝ, ◡ < )) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴◡ < 𝑧))
26	1, 7, 25	mp2and 715	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴◡ < 𝑧)
27		brcnvg 5303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐴◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝐴))
28	16, 27	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝐴))
29	28	rexbidv 3052	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴))
30	29	ad2antrl 764	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴))
31	26, 30	mpbid 222	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝑆, ℝ, ◡ < ) < 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034  ^◡ccnv 5113  supcsup 8346  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by: (None)