Theorem infdif2 9032

Description: Cardinality ordering for an infinite class difference. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem infdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 8086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
2		simp3 1063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
3		infdif 9031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 8007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
5		sdomentr 8094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
7	1, 6	nsyl3 133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
8	7	3expia 1267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
9	8	3adant2 1080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
10	9	con2d 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domtri2 8815	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
12	11	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	10, 12	sylibrd 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
14		simp1 1061	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15		difss 3737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
16		ssdomg 8001	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
18		domtr 8009	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
19	18	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
20	17, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
21	13, 20	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ωcom 7065   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  axgroth3  9653